Resolver equações: crescimento exponencial

Funções exponenciais contam histórias de mudanças explosivas. Os dois tipos de funções exponenciais são crescimento exponencial e decaimento exponencial. Quatro variáveis ​​- mudança percentual, hora, a quantia no início do período e a quantia no final do período - desempenham papéis em funções exponenciais. Este artigo se concentra em como usar problemas de palavras para encontrar a quantia no início do período, uma.

Crescimento exponencial: a mudança que ocorre quando um valor original é aumentado por uma taxa consistente ao longo de um período de tempo

Usos do crescimento exponencial na vida real:

• Valores dos preços da habitação
• Valores dos investimentos
• Maior participação de um site popular de rede social

Aqui está uma função de crescimento exponencial:

y = uma(1 + b)^x

• y: Valor final restante por um período de tempo
• uma: A quantidade original
• x: Tempo
• o fator de crescimento é (1 + b).
• A variável b, é a alteração percentual na forma decimal.

Se você está lendo este artigo, provavelmente é ambicioso. Daqui a seis anos, talvez você queira cursar uma graduação na Dream University. Com um preço de US $ 120.000, a Dream University evoca terrores financeiros noturnos. Depois de noites sem dormir, você, mamãe e papai se encontram com um planejador financeiro. Os olhos injetados de seus pais ficam claros quando o planejador revela um investimento com uma taxa de crescimento de 8% que pode ajudar sua família a atingir a meta de US $ 120.000. Estudam muito. Se você e seus pais investem US $ 75.620,36 hoje, a Dream University se tornará sua realidade.

Esta função descreve o crescimento exponencial do investimento:

120,000 = uma(1 +.08)⁶

• 120.000: valor final restante após 6 anos
• .08: Taxa de crescimento anual
• 6: O número de anos para o investimento crescer
• a: O valor inicial que sua família investiu

Sugestão: Graças à propriedade simétrica da igualdade, 120.000 = uma(1 +.08)⁶ é o mesmo que uma(1 +.08)⁶ = 120,000. (Propriedade simétrica da igualdade: se 10 + 5 = 15, então 15 = 10 +5.)

Se você preferir reescrever a equação com a constante 120.000 à direita da equação, faça-o.

uma(1 +.08)⁶ = 120,000

É verdade que a equação não se parece com uma equação linear (6uma = $ 120.000), mas é solucionável. Fique com ele!

uma(1 +.08)⁶ = 120,000

Cuidado: Não resolva essa equação exponencial dividindo 120.000 por 6. É uma matemática tentadora, não-não.

1. Usar Ordem de operações para simplificar.

uma(1 +.08)⁶ = 120,000
uma(1.08)⁶ = 120.000 (parênteses)
uma(1.586874323) = 120.000 (expoente)

2. Resolver dividindo

uma(1.586874323) = 120,000
uma(1.586874323)/(1.586874323) = 120,000/(1.586874323)
1uma = 75,620.35523
uma = 75,620.35523

O valor original a ser investido é de aproximadamente US $ 75.620,36.

3. Congelar - você ainda não terminou. Use a ordem das operações para verificar sua resposta.

120,000 = uma(1 +.08)⁶
120,000 = 75,620.35523(1 +.08)⁶
120,000 = 75,620.35523(1.08)⁶ (Parêntese)
120.000 = 75.620.35523 (1,586874323) (expoente)
120.000 = 120.000 (Multiplicação)

Planilha original

Agricultor e amigos
Use as informações sobre o site de rede social do agricultor para responder às perguntas 1 a 5.

Um agricultor criou um site de rede social, farmerandfriends.org, que compartilha dicas de jardinagem no quintal. Quando farmerandfriends.org permitiu que os membros publicassem fotos e vídeos, a associação ao site cresceu exponencialmente. Aqui está uma função que descreve esse crescimento exponencial.

120,000 = uma(1 + .40)⁶

1. Quantas pessoas pertencem ao farmerandfriends.org 6 meses depois que ele permitiu o compartilhamento de fotos e vídeos? 120.000 pessoas
   Compare esta função com a função de crescimento exponencial original:
   120,000 = uma(1 + .40)⁶
   y = uma(1 +b)^x
   A quantidade original, y, é 120.000 nessa função sobre redes sociais.
2. Esta função representa crescimento exponencial ou decadência? Essa função representa crescimento exponencial por dois motivos. Razão 1: o parágrafo informativo revela que "a associação ao site cresceu exponencialmente". Razão 2: um sinal positivo está logo antes b, a alteração percentual mensal.
3. Qual é o aumento ou diminuição percentual mensal? O aumento percentual mensal é de 40%, 0,40 escrito como porcentagem.
4. Quantos membros pertenciam a farmerandfriends.org há 6 meses, pouco antes da introdução do compartilhamento de fotos e vídeos? Cerca de 15.937 membros
   Use Order of Operations para simplificar.
   120,000 = uma(1.40)⁶
   120,000 = uma(7.529536)
   Divida para resolver.
   120,000/7.529536 = uma(7.529536)/7.529536
   15,937.23704 = 1uma
   15,937.23704 = uma
   Use a Ordem de operações para verificar sua resposta.
   120,000 = 15,937.23704(1 + .40)⁶
   120,000 = 15,937.23704(1.40)⁶
   120,000 = 15,937.23704(7.529536)
   120,000 = 120,000
5. Se essas tendências continuarem, quantos membros pertencerão ao site 12 meses após a introdução do compartilhamento de fotos e vídeo? Cerca de 903.544 membros
   Conecte o que você sabe sobre a função. Lembre-se, desta vez você tem uma, a quantidade original. Você está resolvendo y, a quantia restante no final de um período.
   y = uma(1 + .40)^x
   y = 15,937.23704(1+.40)¹²
   Use Order of Operations para encontrar y.
   y = 15,937.23704(1.40)¹²
   y = 15,937.23704(56.69391238)
   y = 903,544.3203