Uma maneira de calcular a média e variância de um distribuição de probabilidade é encontrar o valores esperados das variáveis aleatórias X e X2. Nós usamos a notação E(X) e E(X2) para denotar esses valores esperados. Em geral, é difícil calcular E(X) e E(X2) diretamente. Para contornar essa dificuldade, usamos algumas teorias e cálculos matemáticos mais avançados. O resultado final é algo que facilita nossos cálculos.
A estratégia para esse problema é definir uma nova função, de uma nova variável t isso é chamado de função geradora de momento. Essa função nos permite calcular momentos simplesmente usando derivadas.
Premissas
Antes de definir a função geradora de momento, começamos definindo o estágio com notação e definições. Nós deixamos X seja um variável aleatória discreta. Essa variável aleatória possui a função de massa de probabilidade f(x). O espaço de amostra com o qual estamos trabalhando será indicado por S.
Em vez de calcular o valor esperado de X, queremos calcular o valor esperado de uma função exponencial relacionada a
X. Se houver um positivo número realr de tal modo que E(etX) existe e é finito para todos t no intervalo [-r, r], então podemos definir a função geradora de momento de X.Definição
A função geradora de momento é o valor esperado da função exponencial acima. Em outras palavras, dizemos que o momento gerador de função de X É dado por:
M(t) = E(etX)
Esse valor esperado é a fórmula Σ etxf (x), onde o somatório é assumido por todos x no espaço amostralS. Isso pode ser uma soma finita ou infinita, dependendo do espaço de amostra que está sendo usado.
Propriedades
A função de geração de momento possui muitos recursos que se conectam a outros tópicos em estatística matemática e de probabilidade. Algumas de suas características mais importantes incluem:
- O coeficiente de etb é a probabilidade de que X = b.
- As funções de geração de momento possuem uma propriedade de exclusividade. Se o momento que gera funções para duas variáveis aleatórias corresponder uma à outra, as funções de massa de probabilidade deverão ser as mesmas. Em outras palavras, as variáveis aleatórias descrevem a mesma distribuição de probabilidade.
- As funções de geração de momento podem ser usadas para calcular momentos de X.
Cálculo de momentos
O último item da lista acima explica o nome das funções geradoras de momento e também sua utilidade. Alguma matemática avançada diz que, nas condições que expusemos, a derivada de qualquer ordem da função M (t) existe para quando t = 0. Além disso, neste caso, podemos alterar a ordem de soma e diferenciação em relação a t para obter as seguintes fórmulas (todas as somas estão acima dos valores de x no espaço da amostra S):
- M’(t) = Σ xetxf (x)
- M’’(t) = Σ x2etxf (x)
- M’’’(t) = Σ x3etxf (x)
- Mn)’(t) = Σ xnetxf (x)
Se definirmos t = 0 nas fórmulas acima, então o etx termo se torna e0 = 1. Assim, obtemos fórmulas para os momentos da variável aleatória X:
- M’(0) = E(X)
- M’’(0) = E(X2)
- M’’’(0) = E(X3)
- M(n)(0) = E(Xn)
Isso significa que, se a função de geração de momentos existir para uma variável aleatória específica, podemos encontrar sua média e sua variação em termos de derivadas da função de geração de momentos. A média é M'(0) e a variação é M’’(0) – [M’(0)]2.
Sumário
Em resumo, tivemos que nos aprofundar em uma matemática bastante poderosa, para que algumas coisas fossem encobertas. Embora devamos usar o cálculo para o exposto acima, no final, nosso trabalho matemático é geralmente mais fácil do que calcular os momentos diretamente da definição.