Como usar 'Se e somente se' em matemática

Ao ler sobre estatística e matemática, uma frase que aparece regularmente é "se e somente se". Essa frase aparece particularmente em declarações de teoremas ou provas matemáticas. Mas o que, precisamente, essa afirmação significa?

Para entender “se e somente se”, precisamos primeiro saber o que se entende por uma declaração condicional. Uma declaração condicional é aquela formada a partir de duas outras declarações, que iremos denotar por P e Q. Para formar uma declaração condicional, poderíamos dizer "se P então Q".

A seguir, exemplos desse tipo de declaração:

• Se estiver chovendo lá fora, levo meu guarda-chuva comigo na minha caminhada.
• Se você estudar muito, receberá um A.
• E se n é divisível por 4, então n é divisível por 2.

Três outras instruções estão relacionadas a qualquer declaração condicional. Estes são chamados de inverso, inverso e contrapositivo. Formamos essas afirmações alterando a ordem de P e Q do condicional original e inserindo a palavra "não" para o inverso e o contrapositivo.

Só precisamos considerar o inverso aqui. Esta afirmação é obtida do original dizendo "se Q então P." Suponha que comecemos com a condicional “se estiver chovendo lá fora, então eu leve meu guarda-chuva comigo na minha caminhada. O inverso dessa afirmação é “se eu levar meu guarda-chuva comigo na minha caminhada, então está chovendo lado de fora."

Só precisamos considerar este exemplo para perceber que o condicional original não é logicamente o mesmo que o inverso. A confusão desses dois formulários de declaração é conhecida como erro inverso. Pode-se levar um guarda-chuva a pé, mesmo que não esteja chovendo lá fora.

Para outro exemplo, consideramos a condicional "Se um número é divisível por 4, então é divisível por 2." Esta afirmação é claramente verdadeira. No entanto, a inversa desta declaração "Se um número é divisível por 2, então é divisível por 4" é falso. Só precisamos olhar para um número como 6. Embora 2 divida esse número, 4 não. Embora a afirmação original seja verdadeira, seu inverso não é.

Isso nos leva a uma declaração bicondicional, que também é conhecida como uma declaração "se e somente se". Certas declarações condicionais também têm conversas verdadeiras. Nesse caso, podemos formar o que é conhecido como uma declaração bicondicional. Uma declaração bicondicional tem a forma:

"Se P, então Q, e se Q, então P."

Uma vez que este construção é um pouco estranho, especialmente quando P e Q são suas próprias declarações lógicas, simplificamos a declaração de um bicondicional usando a frase "se e apenas se." Em vez de dizer "se P, então Q, e se Q, então P", em vez disso, dizemos "P, se e somente se Q." Essa construção elimina alguns redundância.

Para um exemplo da frase "se e somente se" que envolve estatística, não procure além de um fato referente ao desvio padrão da amostra. O desvio padrão da amostra de um conjunto de dados é igual a zero se e somente se todos os valores dos dados forem idênticos.

Dividimos essa afirmação bicondicional em condicional e inversa. Então vemos que esta declaração significa o seguinte:

• Se o desvio padrão for zero, todos os valores dos dados serão idênticos.
• Se todos os valores dos dados forem idênticos, o desvio padrão será igual a zero.

Se estamos tentando provar um bicondicional, na maioria das vezes acabamos dividindo-o. Isso faz com que nossa prova tenha duas partes. Uma parte que provamos é "se P então Q". A outra parte da prova que precisamos é "se Q então P."

Declarações de condicionalidade estão relacionadas a condições que são necessárias e suficientes. Considere a afirmação “se hoje é Páscoaamanhã é segunda-feira. " Hoje, ser Páscoa é suficiente para que amanhã seja segunda-feira, no entanto, não é necessário. Hoje poderia ser qualquer domingo que não fosse a Páscoa e amanhã ainda seria segunda-feira.

A frase "se e somente se" é usada com bastante frequência na escrita matemática para que ela tenha sua própria abreviação. Às vezes, o bicondicional na declaração da frase "se e somente se" é reduzido para simplesmente "se". Assim, a declaração "P se e somente se Q" se torna "P se se Q".