Qual é a distribuição normal padrão nas estatísticas?

Curvas de sino aparecem nas estatísticas. Medidas diversas, como diâmetros de sementes, comprimentos de barbatanas de peixes, pontuações no SAT e pesos de folhas individuais de uma resma de papel, formam curvas de sino quando são representadas graficamente. A forma geral de todas essas curvas é a mesma. Mas todas essas curvas são diferentes porque é altamente improvável que alguma delas compartilhe a mesma média ou desvio padrão. As curvas de sino com grandes desvios padrão são amplas e as curvas de sino com pequenos desvios padrão são finas. As curvas de sino com médias maiores são deslocadas mais para a direita do que aquelas com médias menores.

Para tornar isso um pouco mais concreto, vamos fingir que medimos os diâmetros de 500 grãos de milho. Em seguida, registramos, analisamos e representamos graficamente esses dados. Verificou-se que o conjunto de dados tem a forma de uma curva de sino e tem uma média de 1,2 cm com um desvio padrão de 0,4 cm. Agora, suponha que façamos a mesma coisa com 500 feijões e descobrimos que eles têm um diâmetro médio de 0,8 cm com um desvio padrão de 0,04 cm.

As curvas de sino de ambos os conjuntos de dados são plotadas acima. A curva vermelha corresponde aos dados do milho e a curva verde corresponde aos dados do feijão. Como podemos ver, os centros e as margens dessas duas curvas são diferentes.

Essas são claramente duas curvas de sino diferentes. Eles são diferentes porque seus meios e desvio padrão não corresponde. Como qualquer conjunto de dados interessante que encontramos pode ter um número positivo como desvio padrão e qualquer número como média, estamos apenas arranhando a superfície de um infinito número de curvas de sino. São muitas curvas e muitas para lidar. Qual é a solução?

Um objetivo da matemática é generalizar as coisas sempre que possível. Às vezes, vários problemas individuais são casos especiais de um único problema. Essa situação envolvendo curvas de sino é uma ótima ilustração disso. Em vez de lidar com um número infinito de curvas de sino, podemos relacionar todos eles a uma única curva. Essa curva de sino especial é chamada de curva de sino padrão ou distribuição normal padrão.

A curva de sino padrão tem uma média de zero e um desvio padrão de um. Qualquer outra curva de sino pode ser comparada a esse padrão por meio de um cálculo direto.

Todas as propriedades de qualquer curva de sino são válidas para a distribuição normal padrão.

• A distribuição normal padrão não apenas tem uma média de zero, mas também uma mediana e um modo de zero. Este é o centro da curva.
• A distribuição normal padrão mostra simetria de espelho em zero. Metade da curva está à esquerda de zero e metade da curva está à direita. Se a curva fosse dobrada ao longo de uma linha vertical no zero, ambas as metades corresponderiam perfeitamente.
• A distribuição normal padrão segue a regra 68-95-99.7, que fornece uma maneira fácil de estimar o seguinte:
  • Aproximadamente 68% de todos os dados estão entre -1 e 1.
  • Aproximadamente 95% de todos os dados estão entre -2 e 2.
  • Aproximadamente 99,7% de todos os dados estão entre -3 e 3.

Nesse ponto, podemos estar perguntando: “Por que se preocupar com uma curva de sino padrão?” Pode parecer uma complicação desnecessária, mas a curva de sino padrão será benéfica à medida que continuamos nas estatísticas.

Descobriremos que um tipo de problema estatístico exige que encontremos áreas abaixo de partes de qualquer curva de sino que encontramos. A curva da campainha não é uma forma agradável para áreas. Não é como um retângulo ou triângulo retângulo que tem fácil fórmulas de área. Encontrar áreas de partes de uma curva de sino pode ser complicado, tão difícil, de fato, que precisaríamos usar algum cálculo. Se não padronizarmos nossas curvas de sino, precisaremos fazer alguns cálculos sempre que quisermos encontrar uma área. Se padronizamos nossas curvas, todo o trabalho de cálculo de áreas foi feito para nós.