Qual é a desigualdade de Markov?

A desigualdade de Markov é um resultado útil na probabilidade que fornece informações sobre um distribuição de probabilidade. O aspecto notável é que a desigualdade vale para qualquer distribuição com valores positivos, independentemente de outras características que ela possua. A desigualdade de Markov fornece um limite superior para a porcentagem da distribuição que está acima de um valor específico.

A desigualdade de Markov diz que, para uma variável aleatória positiva X e qualquer positivo número realuma, a probabilidade de que X é maior que ou igual a uma é menor ou igual ao valor esperado do X dividido por uma.

A descrição acima pode ser declarada de forma mais sucinta usando notação matemática. Em símbolos, escrevemos a desigualdade de Markov como:

P (X ≥ uma) ≤ E( X) /uma

Para ilustrar a desigualdade, suponha que tenhamos uma distribuição com valores não negativos (como um distribuição qui-quadrado). Se essa variável aleatória X tem valor esperado de 3, examinaremos as probabilidades para alguns valores de uma.

• Para uma = 10 A desigualdade de Markov diz que P (X ≥ 10) ≤ 3/10 = 30%. Portanto, há uma probabilidade de 30% de X é maior que 10.
• Para uma = 30 A desigualdade de Markov diz que P (X ≥ 30) ≤ 3/30 = 10%. Portanto, há uma probabilidade de 10% de X é maior que 30.
• Para uma = 3 A desigualdade de Markov diz que P (X ≥ 3) ≤ 3/3 = 1. Eventos com uma probabilidade de 1 = 100% são certos. Portanto, isso indica que algum valor da variável aleatória é maior ou igual a 3. Isso não deveria ser muito surpreendente. Se todos os valores de X eram menores que 3, então o valor esperado também seria menor que 3.
• Como o valor de uma aumenta, o quociente E(X) /uma vai se tornar cada vez menor. Isso significa que a probabilidade é muito pequena que X é muito, muito grande. Novamente, com um valor esperado de 3, não esperaríamos que houvesse grande parte da distribuição com valores muito grandes.

Se soubermos mais sobre a distribuição com a qual estamos trabalhando, geralmente podemos melhorar a desigualdade de Markov. O valor de usá-lo é que ele é válido para qualquer distribuição com valores não negativos.

Por exemplo, se soubermos a altura média dos alunos de uma escola primária. A desigualdade de Markov nos diz que não mais de um sexto dos alunos pode ter uma altura superior a seis vezes a altura média.

O outro uso principal da desigualdade de Markov é provar Desigualdade de Chebyshev. Esse fato resulta no nome "desigualdade de Chebyshev" sendo aplicado também à desigualdade de Markov. A confusão de nomear as desigualdades também se deve a circunstâncias históricas. Andrey Markov era aluno de Pafnuty Chebyshev. O trabalho de Chebyshev contém a desigualdade atribuída a Markov.