O que são axiomas de probabilidade?

Uma estratégia em matemática é começar com algumas afirmações e depois construir mais matemática a partir dessas afirmações. As instruções iniciais são conhecidas como axiomas. Um axioma é tipicamente algo que é matematicamente auto-evidente. A partir de uma lista relativamente curta de axiomas, a lógica dedutiva é usada para provar outras afirmações, chamadas teoremas ou proposições.

A área da matemática conhecida como probabilidade não é diferente. A probabilidade pode ser reduzida para três axiomas. Isso foi feito pela primeira vez pelo matemático Andrei Kolmogorov. Os poucos axiomas subjacentes à probabilidade podem ser usados ​​para deduzir todas as sortes de resultados. Mas quais são esses axiomas de probabilidade?

Para entender os axiomas da probabilidade, precisamos primeiro discutir algumas definições básicas. Supomos que tenhamos um conjunto de resultados chamado espaço amostral S. Esse espaço de amostra pode ser pensado como o conjunto universal para a situação que estamos estudando. O espaço de amostra é composto por subconjuntos chamados eventos

Também assumimos que existe uma maneira de atribuir uma probabilidade a qualquer evento E. Isso pode ser pensado como uma função que possui um conjunto para uma entrada e um número real como uma saída. A probabilidade do eventoE é indicado por P(E).

O primeiro axioma da probabilidade é que a probabilidade de qualquer evento é um número real não negativo. Isso significa que a menor probabilidade que uma probabilidade pode ter é zero e que não pode ser infinita. O conjunto de números que podemos usar são números reais. Isso se refere a números racionais, também conhecidos como frações, e números irracionais que não podem ser escritos como frações.

Uma coisa a notar é que esse axioma não diz nada sobre o quão grande pode ser a probabilidade de um evento. O axioma elimina a possibilidade de probabilidades negativas. Ele reflete a noção de que a menor probabilidade, reservada para eventos impossíveis, é zero.

O segundo axioma da probabilidade é que a probabilidade de todo o espaço amostral é uma. Simbolicamente escrevemos P(S) = 1. Está implícito neste axioma a noção de que o espaço amostral é possível para o experimento de probabilidade e que não há eventos fora do espaço amostral.

Por si só, esse axioma não define um limite superior para as probabilidades de eventos que não são o espaço de amostra inteiro. Isso reflete que algo com certeza absoluta tem uma probabilidade de 100%.

O terceiro axioma da probabilidade lida com eventos mutuamente exclusivos. E se E₁ e E₂ estamos mutuamente exclusivos, o que significa que eles têm uma interseção vazia e usamos U para denotar a união; P(E₁ você E₂ ) = P(E₁) + P(E₂).

O axioma realmente cobre a situação com vários eventos (até mesmo infinitos), todos os quais são mutuamente exclusivos. Enquanto isso ocorrer, o probabilidade da união dos eventos é o mesmo que a soma das probabilidades:

P(E₁ você E₂ VOCÊ... você E_n ) = P(E₁) + P(E₂) +... + E_n

Embora esse terceiro axioma possa não parecer tão útil, veremos que, combinado com os outros dois axiomas, ele é bastante poderoso.

Os três axiomas definem um limite superior para a probabilidade de qualquer evento. Denotamos o complemento do evento E por E^C. Da teoria dos conjuntos, E e E^C tem um cruzamento vazio e são mutuamente exclusivos. além disso E você E^C = S, todo o espaço da amostra.

Esses fatos, combinados com os axiomas, nos dão:

1 = P(S) = P(E você E^C) = P(E) + P(E^C) .

Reorganizamos a equação acima e vemos que P(E) = 1 - P(E^C). Como sabemos que as probabilidades devem ser não-negativas, agora temos que um limite superior para a probabilidade de qualquer evento é 1.

Reorganizando a fórmula novamente, temos P(E^C) = 1 - P(E). Também podemos deduzir dessa fórmula que a probabilidade de um evento não ocorrer é um menos a probabilidade de que ele ocorra.

A equação acima também fornece uma maneira de calcular a probabilidade do evento impossível, indicado pelo conjunto vazio. Para ver isso, lembre-se de que o conjunto vazio é o complemento do conjunto universal, neste caso S^C. Desde 1 = P(S) + P(S^C) = 1 + P(S^C), pela álgebra temos P(S^C) = 0.

Os itens acima são apenas alguns exemplos de propriedades que podem ser provadas diretamente dos axiomas. Existem muitos outros resultados em probabilidade. Mas todos esses teoremas são extensões lógicas dos três axiomas da probabilidade.