Como calcular as probabilidades de Powerball

Powerball é um estado múltiplo loteria isso é bastante popular devido aos seus jackpots multimilionários. Alguns desses jackpots atingem valores superiores a US $ 100 milhões. Uma missão interessante de um probabilístico sentido é: "Como estão as probabilidades calculado sobre a probabilidade de ganhando Powerball?

Primeiro, examinaremos as regras do Powerball como ele está configurado atualmente. Durante cada desenho, dois tambores cheios de bolas são completamente misturados e randomizados. O primeiro tambor contém bolas brancas numeradas de 1 a 59. Cinco são sorteados Sem substituição deste tambor. O segundo tambor possui bolas vermelhas numeradas de 1 a 35. Um deles é desenhado. O objetivo é combinar o maior número possível desses números.

O jackpot completo é ganho quando todos os seis números selecionados por um jogador correspondem perfeitamente às bolas sorteadas. Existem prêmios com valores menores para correspondência parcial, para um total de nove maneiras diferentes de ganhar uma quantia em dólares da Powerball. Essas formas de ganhar são:

• Combinar todas as cinco bolas brancas e a bola vermelha ganha o grande prêmio do jackpot. O valor disso varia dependendo de quanto tempo se passou desde que alguém ganhou esse grande prêmio.
• Combinar todas as cinco bolas brancas, mas não a bola vermelha, ganha US $ 1.000.000.
• Combinando exatamente quatro das cinco bolas brancas e a bola vermelha ganha US $ 10.000.
• Combinar exatamente quatro das cinco bolas brancas, mas não a bola vermelha, ganha US $ 100.
• Combinar exatamente três das cinco bolas brancas e a bola vermelha ganha US $ 100.
• Combinar exatamente três das cinco bolas brancas, mas não a bola vermelha, ganha US $ 7.
• Combinar exatamente duas das cinco bolas brancas e a bola vermelha ganha US $ 7.
• Combinar exatamente uma das cinco bolas brancas e a bola vermelha ganha US $ 4.
• Combinando apenas a bola vermelha, mas nenhuma das bolas brancas ganha $ 4.

Veremos como calcular cada uma dessas probabilidades. Durante esses cálculos, é importante observar que a ordem de como as bolas saem do tambor não é importante. A única coisa que importa é o conjunto de bolas que são sacadas. Por esse motivo, nossos cálculos envolvem combinações e não permutações.

Também útil em todos os cálculos abaixo é o número total de combinações que podem ser desenhadas. Nós selecionamos cinco das 59 bolas brancas ou, usando a notação para combinações, C (59, 5) = 5.006.386 maneiras para que isso ocorra. Existem 35 maneiras de selecionar a bola vermelha, resultando em 35 x 5.006.386 = 175.223.510 possíveis seleções.

Embora o jackpot de combinar todas as seis bolas seja o mais difícil de obter, é a probabilidade mais fácil de calcular. Entre as 175.223.510 seleções possíveis, há exatamente uma maneira de ganhar o jackpot. Portanto, a probabilidade de um determinado bilhete ganhar o jackpot é de 1 / 175.223.510.

Para ganhar $ 1.000.000, precisamos combinar as cinco bolas brancas, mas não a vermelha. Há apenas uma maneira de combinar todas as cinco. Existem 34 maneiras de não combinar a bola vermelha. Portanto, a probabilidade de ganhar US $ 1.000.000 é 34 / 175.223.510, ou aproximadamente 1 / 5.153.633.

Por um prêmio de US $ 10.000, devemos combinar quatro das cinco bolas brancas e a vermelha. Existem C (5,4) = 5 maneiras de combinar quatro das cinco. A quinta bola deve ser uma das 54 restantes que não foram sacadas e, portanto, existem C (54, 1) = 54 maneiras para que isso aconteça. Existe apenas uma maneira de combinar a bola vermelha. Isso significa que existem 5 x 54 x 1 = 270 maneiras de combinar exatamente quatro bolas brancas e a vermelha, dando uma probabilidade de 270 / 175.223.510, ou aproximadamente 1 / 648.976.

Uma maneira de ganhar um prêmio de US $ 100 é combinar quatro das cinco bolas brancas e não combinar a vermelha. Como no caso anterior, existem C (5,4) = 5 maneiras de combinar quatro das cinco. A quinta bola deve ser uma das 54 restantes que não foram sacadas e, portanto, existem C (54, 1) = 54 maneiras para que isso aconteça. Desta vez, existem 34 maneiras de não combinar com a bola vermelha. Isso significa que existem 5 x 54 x 34 = 9180 maneiras de combinar exatamente quatro bolas brancas, mas não a vermelha, dando uma probabilidade de 9180 / 175,223,510, ou aproximadamente 1 / 19.088.

Outra maneira de ganhar um prêmio de US $ 100 é combinar exatamente três das cinco bolas brancas e também a vermelha. Existem C (5,3) = 10 maneiras de combinar três dos cinco. As bolas brancas restantes devem ser uma das 54 restantes que não foram sacadas e, portanto, existem C (54, 2) = 1431 maneiras para que isso aconteça. Há uma maneira de combinar a bola vermelha. Isso significa que existem 10 x 1431 x 1 = 14.310 maneiras de combinar exatamente três bolas brancas e a vermelha, dando uma probabilidade de 14.310 / 175.223.510, ou aproximadamente 1 / 12.245.

Uma maneira de ganhar um prêmio de US $ 7 é combinar exatamente três das cinco bolas brancas e não combinar a vermelha. Existem C (5,3) = 10 maneiras de combinar três dos cinco. As bolas brancas restantes devem ser uma das 54 restantes que não foram sacadas e, portanto, existem C (54, 2) = 1431 maneiras para que isso aconteça. Desta vez, existem 34 maneiras de não combinar a bola vermelha. Isso significa que existem 10 x 1431 x 34 = 486.540 maneiras de combinar exatamente três bolas brancas, mas não a vermelha, dando uma probabilidade de 486.540 / 175.223.510, ou aproximadamente 1/360.

Outra maneira de ganhar um prêmio de US $ 7 é combinar exatamente duas das cinco bolas brancas e também a vermelha. Existem C (5,2) = 10 maneiras de combinar duas das cinco. As bolas brancas restantes devem ser uma das 54 restantes que não foram sacadas e, portanto, existem C (54, 3) = 24.804 maneiras para que isso aconteça. Há uma maneira de combinar a bola vermelha. Isso significa que existem 10 x 24.804 x 1 = 248.040 maneiras de combinar exatamente duas bolas brancas e a vermelha, dando uma probabilidade de 248.040 / 175.223.510, ou aproximadamente 1/706.

Uma maneira de ganhar um prêmio de US $ 4 é igualar exatamente uma das cinco bolas brancas e também a vermelha. Existem C (5,4) = 5 maneiras de combinar uma das cinco. As bolas brancas restantes devem ser uma das 54 restantes que não foram sacadas e, portanto, existem C (54, 4) = 316.251 maneiras para que isso aconteça. Há uma maneira de combinar a bola vermelha. Isso significa que existem 5 x 316.251 x1 = 1.581.255 maneiras de combinar exatamente uma bola branca e a vermelha, dando uma probabilidade de 1.581.255 / 175.223.510, ou aproximadamente 1/111.

Outra maneira de ganhar um prêmio de US $ 4 é igualar nenhuma das cinco bolas brancas, mas igualar a vermelha. Existem 54 bolas que não são nenhuma das cinco selecionadas e temos C (54, 5) = 3.162.510 maneiras para que isso aconteça. Há uma maneira de combinar a bola vermelha. Isso significa que existem 3.162.510 maneiras de combinar com nenhuma das bolas, exceto a vermelha, dando uma probabilidade de 3.162.510 / 175.223.510, ou aproximadamente 1/55.

Este caso é um pouco contra-intuitivo. Há 36 bolas vermelhas, então podemos pensar que a probabilidade de combinar uma delas seria 1/36. No entanto, isso negligencia as outras condições impostas pelas bolas brancas. Muitas combinações que envolvem a bola vermelha correta também incluem partidas em algumas bolas brancas.