Ao lidar com teoria de conjuntos, há várias operações para criar novos conjuntos com base nos antigos. Uma das operações de conjunto mais comuns é chamada de interseção. Em termos simples, a interseção de dois conjuntos UMA e B é o conjunto de todos os elementos que ambos UMA e B tem em comum.
Veremos detalhes sobre a interseção na teoria dos conjuntos. Como veremos, a palavra-chave aqui é a palavra "e".
Um exemplo
Para um exemplo de como a interseção de dois conjuntos forma uma novo conjunto, vamos considerar os conjuntos UMA = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Para encontrar a interseção desses dois conjuntos, precisamos descobrir quais elementos eles têm em comum. Os números 3, 4, 5 são elementos de ambos os conjuntos, portanto as interseções de UMA e B é {3. 4. 5].
Notação para interseção
Além de entender os conceitos relativos às operações da teoria dos conjuntos, é importante poder ler os símbolos usados para denotar essas operações. O símbolo para interseção às vezes é substituído pela palavra "e" entre dois conjuntos. Essa palavra sugere a notação mais compacta para uma interseção que é normalmente usada.
O símbolo usado para a interseção dos dois conjuntos UMA e B É dado por UMA ∩ B. Uma maneira de lembrar que esse símbolo ∩ se refere à interseção é observar sua semelhança com uma letra maiúscula A, que é a abreviação da palavra "e".
Para ver esta notação em ação, consulte o exemplo acima. Aqui nós tivemos os sets UMA = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Então escreveríamos a equação definida UMA ∩ B = {3, 4, 5}.
Interseção com o conjunto vazio
Uma identidade básica que envolve a interseção nos mostra o que acontece quando fazemos a interseção de qualquer conjunto com o conjunto vazio, indicado pelo número 8709. O conjunto vazio é o conjunto sem elementos. Se não houver elementos em pelo menos um dos conjuntos dos quais estamos tentando encontrar a interseção, os dois conjuntos não terão elementos em comum. Em outras palavras, a interseção de qualquer conjunto com o conjunto vazio nos dará o conjunto vazio.
Essa identidade se torna ainda mais compacta com o uso de nossa notação. Nós temos a identidade: UMA ∩ ∅ = ∅.
Interseção com o conjunto universal
Para o outro extremo, o que acontece quando examinamos a interseção de um conjunto com o conjunto universal? Semelhante a como a palavra universo é usado na astronomia para significar tudo, o conjunto universal contém todos os elementos. Segue-se que todo elemento do nosso conjunto também é um elemento do conjunto universal. Assim, a interseção de qualquer conjunto com o conjunto universal é o conjunto com o qual começamos.
Novamente, nossa notação vem ao resgate para expressar essa identidade de maneira mais sucinta. Para qualquer conjunto UMA e o conjunto universal você, UMA ∩ você = UMA.
Outras identidades que envolvem a interseção
Existem muitas outras equações definidas que envolvem o uso da operação de interseção. Claro, é sempre bom prática usando a linguagem da teoria dos conjuntos. Para todos os conjuntos UMAe B e D temos:
- Propriedade reflexiva: UMA ∩ UMA =UMA
- Propriedade comutativa: UMA ∩ B = B ∩ UMA
- Propriedade associativa: (UMA ∩ B) ∩ D =UMA ∩ (B ∩ D)
- Propriedade distributiva: (UMA ∪ B) ∩ D = (UMA ∩ D)∪ (B ∩ D)
- Lei de DeMorgan I: (UMA ∩ B)C = UMAC ∪ BC
- Lei II de DeMorgan: (UMA ∪ B)C = UMAC ∩ BC