Funções exponenciais contam histórias de mudanças explosivas. Os dois tipos de funções exponenciais são crescimento exponencial e decaimento exponencial. Quatro variáveis - porcentagem de mudança, tempo, o valor no início do período e o valor no final do período - desempenham papéis em funções exponenciais. Este artigo se concentra em como encontrar a quantia no início do período, uma.
Crescimento exponencial
Crescimento exponencial: a mudança que ocorre quando um valor original é aumentado por uma taxa consistente ao longo de um período de tempo
Crescimento exponencial na vida real:
- Valores dos preços da habitação
- Valores dos investimentos
- Maior participação de um site popular de rede social
Aqui está uma função de crescimento exponencial:
y = uma(1 + b)x
- y: Valor final restante por um período de tempo
- uma: A quantidade original
- x: Tempo
- o fator de crescimento é (1 + b).
- A variável b, é a alteração percentual na forma decimal.
Decaimento exponencial
Decaimento exponencial: a alteração que ocorre quando um valor original é reduzido por uma taxa consistente ao longo de um período de tempo
Decaimento exponencial na vida real:
- Declínio do número de leitores de jornais
- Diminuição de derrames nos EUA
- Número de pessoas restantes em uma cidade atingida por furacões
Aqui está uma função de decaimento exponencial:
y = uma(1-b)x
- y: Valor final restante após a deterioração por um período de tempo
- uma: A quantidade original
- x: Tempo
- o fator de decaimento é (1-b).
- A variável b, é a redução percentual na forma decimal.
Objetivo de encontrar o valor original
Daqui a seis anos, talvez você queira cursar uma graduação na Dream University. Com um preço de US $ 120.000, a Dream University evoca terrores financeiros noturnos. Depois de noites sem dormir, você, mamãe e papai se encontram com um planejador financeiro. Os olhos injetados de seus pais ficam claros quando o planejador revela um investimento com uma taxa de crescimento de 8% que pode ajudar sua família a atingir a meta de US $ 120.000. Estudam muito. Se você e seus pais investem US $ 75.620,36 hoje, a Dream University se tornará sua realidade.
Como resolver a quantidade original de uma função exponencial
Esta função descreve o crescimento exponencial do investimento:
120,000 = uma(1 +.08)6
- 120.000: valor final restante após 6 anos
- .08: Taxa de crescimento anual
- 6: O número de anos para o investimento crescer
- uma: O valor inicial que sua família investiu
Sugestão: Graças à propriedade simétrica da igualdade, 120.000 = uma(1 +.08)6 é o mesmo que uma(1 +.08)6 = 120,000. (Propriedade simétrica da igualdade: se 10 + 5 = 15, então 15 = 10 +5.)
Se você preferir reescrever a equação com a constante 120.000 à direita da equação, faça-o.
uma(1 +.08)6 = 120,000
É verdade que a equação não se parece com uma equação linear (6uma = $ 120.000), mas é solucionável. Fique com ele!
uma(1 +.08)6 = 120,000
Cuidado: Não resolva essa equação exponencial dividindo 120.000 por 6. É uma matemática tentadora, não-não.
1. Usar Ordem de operações para simplificar.
uma(1 +.08)6 = 120,000
uma(1.08)6 = 120.000 (parênteses)
uma(1.586874323) = 120.000 (expoente)
2. Resolver dividindo
uma(1.586874323) = 120,000
uma(1.586874323)/(1.586874323) = 120,000/(1.586874323)
1uma = 75,620.35523
uma = 75,620.35523
O valor original, ou o valor que sua família deve investir, é de aproximadamente US $ 75.620,36.
3. Congelar - você ainda não terminou. Use a ordem das operações para verificar sua resposta.
120,000 = uma(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1.08)6 (Parêntese)
120.000 = 75.620.35523 (1,586874323) (expoente)
120.000 = 120.000 (Multiplicação)
Exercícios Práticos: Respostas e Explicações
Aqui estão exemplos de como resolver o valor original, dada a função exponencial:
-
84 = uma(1+.31)7
Use Order of Operations para simplificar.
84 = uma(1.31)7 (Parêntese)
84 = uma(6.620626219) (expoente)
Divida para resolver.
84/6.620626219 = uma(6.620626219)/6.620626219
12.68762157 = 1uma
12.68762157 = uma
Use a Ordem de operações para verificar sua resposta.
84 = 12.68762157(1.31)7 (Parêntese)
84 = 12.68762157 (6.620626219) (expoente)
84 = 84 (Multiplicação) -
uma(1 -.65)3 = 56
Use Order of Operations para simplificar.
uma(.35)3 = 56 (Parênteses)
uma(.042875) = 56 (expoente)
Divida para resolver.
uma(.042875)/.042875 = 56/.042875
uma = 1,306.122449
Use a Ordem de operações para verificar sua resposta.
uma(1 -.65)3 = 56
1,306.122449(.35)3 = 56 (Parênteses)
1.306.122449 (.042875) = 56 (expoente)
56 = 56 (Multiplicar) -
uma(1 + .10)5 = 100,000
Use Order of Operations para simplificar.
uma(1.10)5 = 100.000 (parênteses)
uma(1.61051) = 100.000 (expoente)
Divida para resolver.
uma(1.61051)/1.61051 = 100,000/1.61051
uma = 62,092.13231
Use a Ordem de operações para verificar sua resposta.
62,092.13231(1 + .10)5 = 100,000
62,092.13231(1.10)5 = 100.000 (parênteses)
62.092.13231 (1.61051) = 100.000 (expoente)
100.000 = 100.000 (Multiplicar) -
8,200 = uma(1.20)15
Use Order of Operations para simplificar.
8,200 = uma(1.20)15 (Expoente)
8,200 = uma(15.40702157)
Divida para resolver.
8,200/15.40702157 = uma(15.40702157)/15.40702157
532.2248665 = 1uma
532.2248665 = uma
Use a Ordem de operações para verificar sua resposta.
8,200 = 532.2248665(1.20)15
8.200 = 532,2248665 (15.40702157) (expoente)
8.200 = 8200 (Bem, 8.199.9999... Apenas um pequeno erro de arredondamento.) (Multiplique.) -
uma(1 -.33)2 = 1,000
Use Order of Operations para simplificar.
uma(.67)2 = 1.000 (Parênteses)
uma(.4489) = 1.000 (expoente)
Divida para resolver.
uma(.4489)/.4489 = 1,000/.4489
1uma = 2,227.667632
uma = 2,227.667632
Use a Ordem de operações para verificar sua resposta.
2,227.667632(1 -.33)2 = 1,000
2,227.667632(.67)2 = 1.000 (Parênteses)
2.227,667632 (.4489) = 1.000 (Expoente)
1.000 = 1.000 (Multiplicar) -
uma(.25)4 = 750
Use Order of Operations para simplificar.
uma(.00390625) = 750 (expoente)
Divida para resolver.
uma(.00390625)/00390625= 750/.00390625
1a = 192.000
a = 192.000
Use a Ordem de operações para verificar sua resposta.
192,000(.25)4 = 750
192,000(.00390625) = 750
750 = 750