O fatorial (!) Em matemática e estatística

Em matemática, símbolos que possuem certos significados no idioma inglês pode significar coisas muito especializadas e diferentes. Por exemplo, considere a seguinte expressão:

3!

Não, não usamos o ponto de exclamação para mostrar que estamos empolgados com as três e que não devemos ler a última frase com ênfase. Em matemática, a expressão 3! é lido como "três fatorial" e é realmente uma maneira abreviada de denotar a multiplicação de vários números inteiros consecutivos.

Como existem muitos lugares na matemática e nas estatísticas em que precisamos multiplicar números, o fatorial é bastante útil. Alguns dos principais locais em que aparece são combinatórios e probabilidades cálculo.

A definição do fatorial é que, para qualquer número inteiro positivo n, o fatorial:

n! = n x (n -1) x (n - 2) x... x 2 x 1

Primeiro, examinaremos alguns exemplos do fatorial com pequenos valores de n:

• 1! = 1
• 2! = 2 x 1 = 2
• 3! = 3 x 2 x 1 = 6
• 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
• 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
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• 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
• 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040
• 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320
• 9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362880
• 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800

Como podemos ver, o fatorial cresce muito rapidamente. Algo que pode parecer pequeno, como 20! na verdade tem 19 dígitos.

Os fatoriais são fáceis de calcular, mas podem ser um pouco tediosos de calcular. Felizmente, muitas calculadoras possuem uma chave fatorial (procure pelo! símbolo). Esta função da calculadora automatizará as multiplicações.

Um outro valor do fatorial e outro para o qual a definição padrão acima não se aplica é o de fatorial zero. Se seguirmos a fórmula, não chegaremos a nenhum valor para 0!. Não há números inteiros positivos menores que 0. Por várias razões, é apropriado definir 0! = 1. O fatorial para esse valor aparece particularmente nas fórmulas para combinações e permutações.

Ao lidar com cálculos, é importante pensar antes de pressionar a tecla fatorial em nossa calculadora. Para calcular uma expressão como 100! / 98! existem algumas maneiras diferentes de fazer isso.

Uma maneira é usar um calculadora encontrar os 100! e 98!, depois divida uma pela outra. Embora essa seja uma maneira direta de calcular, ela tem algumas dificuldades associadas. Algumas calculadoras não conseguem lidar com expressões tão grandes quanto 100! = 9.33262154 x 10¹⁵⁷. (A expressão 10¹⁵⁷ é uma notação científica que significa que multiplicamos por 1 seguido por 157 zeros.) Esse número não é apenas massivo, mas também é apenas uma estimativa do valor real de 100!

Outra maneira de simplificar uma expressão com fatoriais como o visto aqui não requer uma calculadora. A maneira de abordar esse problema é reconhecer que podemos reescrever 100! não como 100 x 99 x 98 x 97 x... x 2 x 1, mas como 100 x 99 x 98! A expressão 100! / 98! agora se torna (100 x 99 x 98!) / 98! = 100 x 99 = 9900.