Depois de ver as fórmulas impressas em um livro ou escritas no quadro por um professor, às vezes é surpreendente descobrir que muitas dessas fórmulas podem ser derivadas de algumas definições fundamentais e reflexão cuidadosa. Isso é particularmente verdadeiro em probabilidade ao examinar a fórmula para combinações. A derivação dessa fórmula realmente depende apenas do princípio da multiplicação.
O princípio da multiplicação
Suponha que exista uma tarefa a ser executada e essa tarefa seja dividida em um total de duas etapas. O primeiro passo pode ser feito em k maneiras e o segundo passo pode ser feito de n maneiras. Isso significa que depois de multiplicando esses números juntos, o número de maneiras de executar a tarefa é nk.
Por exemplo, se você tem dez tipos de sorvete para escolher e três coberturas diferentes, quantas colheres e um sundae de cobertura você pode fazer? Multiplique três por 10 para obter 30 sundaes.
Formando Permutações
Agora, use o princípio da multiplicação para derivar a fórmula para o número de combinação de
r elementos retirados de um conjunto de n elementos. Deixei P (n, r) denotar o número de permutações do r elementos de um conjunto de n e C (n, r) denotar o número de combinações de r elementos de um conjunto de n elementos.Pense no que acontece ao formar uma permutação de r elementos de um total de n. Veja isso como um processo de duas etapas. Primeiro, escolha um conjunto de r elementos de um conjunto de n. Esta é uma combinação e existem C(n, r) maneiras de fazer isso. O segundo passo no processo é pedir r elementos com r escolhas para o primeiro, r - 1 opção para a segunda, r - 2 para o terceiro, 2 opções para o penúltimo e 1 para o último. Pelo princípio da multiplicação, existem r x (r -1) x... x 2 x 1 = r! maneiras de fazer isso. Esta fórmula é escrita com notação fatorial.
A derivação da fórmula
Para recapitular, P(n,r ), o número de maneiras de formar uma permutação de r elementos de um total de n é determinado por:
- Formando uma combinação de r elementos de um total de n em qualquer um C(n,r ) maneiras
- Encomendar estes r elementos qualquer um r! maneiras.
Pelo princípio da multiplicação, o número de maneiras de formar uma permutação é P(n,r ) = C(n,r ) x r!.
Usando a fórmula para permutações P(n,r ) = n!/(n - r)!, que pode ser substituído na fórmula acima:
n!/(n - r)! = C(n,r ) r!.
Agora resolva isso, o número de combinações, C(n,r ) e veja que C(n,r ) = n!/[r!(n - r)!].
Como demonstrado, um pouco de pensamento e álgebra pode percorrer um longo caminho. Outras fórmulas em probabilidade e estatística também podem ser derivadas com algumas aplicações cuidadosas de definições.