Teoria dos conjuntos e como ela é usada

A teoria dos conjuntos é um conceito fundamental em toda a matemática. Este ramo da matemática forma uma base para outros tópicos.

Intuitivamente, um conjunto é uma coleção de objetos, chamados elementos. Embora isso pareça uma idéia simples, tem algumas consequências de longo alcance.

Os elementos de um conjunto podem realmente ser qualquer coisa - números, estados, carros, pessoas ou até outros conjuntos são todas possibilidades de elementos. Qualquer coisa que possa ser coletada em conjunto pode ser usada para formar um conjunto, embora haja algumas coisas que precisamos ter cuidado.

Os elementos de um conjunto estão em um conjunto ou não em um conjunto. Podemos descrever um conjunto por uma propriedade definidora ou listar os elementos no conjunto. A ordem em que estão listadas não é importante. Portanto, os conjuntos {1, 2, 3} e {1, 3, 2} são conjuntos iguais, porque ambos contêm os mesmos elementos.

Dois conjuntos merecem menção especial. O primeiro é o conjunto universal, geralmente indicado

O outro conjunto que requer alguma atenção é chamado de conjunto vazio. O conjunto vazio é o conjunto exclusivo, sem elementos. Podemos escrever isso como {} e denotar esse conjunto pelo símbolo ∅.

Uma coleção de alguns dos elementos de um conjunto UMA é chamado de subconjunto do UMA. Dizemos que UMA é um subconjunto de B se e somente se todos os elementos de UMA também é um elemento de B. Se houver um número finito n de elementos em um conjunto, há um total de 2ⁿ subconjuntos de UMA. Esta coleção de todos os subconjuntos de UMA é um conjunto chamado conjunto de força do UMA.

Assim como podemos realizar operações como adição - em dois números para obter um novo número, operações de teoria de conjuntos são usadas para formar um conjunto a partir de dois outros conjuntos. Existem várias operações, mas quase todas são compostas das três operações a seguir:

• União - União significa união. A união dos conjuntos UMA e B consiste nos elementos que estão em UMA ou B.
• Interseção - Um cruzamento é onde duas coisas se encontram. A interseção dos conjuntos UMA e B consiste nos elementos que em ambos UMA e B.
• Complemento - O complemento do conjunto UMA consiste em todos os elementos do conjunto universal que não são elementos de UMA.

Uma ferramenta que é útil para descrever o relacionamento entre conjuntos diferentes é chamada de diagrama de Venn. Um retângulo representa o conjunto universal para o nosso problema. Cada conjunto é representado com um círculo. Se os círculos se sobrepõem, isso ilustra a interseção de nossos dois conjuntos.

A teoria dos conjuntos é usada em toda a matemática. É usado como base para muitos subcampos da matemática. Nas áreas pertencentes a estatística, é particularmente usado em probabilidade. Muitos dos conceitos em probabilidade são derivados das consequências da teoria dos conjuntos. De fato, uma maneira de declarar o axiomas de probabilidade envolve teoria dos conjuntos.