Às vezes, a estatística matemática requer o uso da teoria dos conjuntos. As leis de De Morgan são duas declarações que descrevem as interações entre várias operações da teoria dos conjuntos. As leis são que para dois conjuntos UMA e B:
- (UMA ∩ B)C = UMAC você BC.
- (UMA você B)C = UMAC ∩ BC.
Depois de explicar o que cada uma dessas declarações significa, veremos um exemplo de cada uma delas sendo usada.
Operações da teoria dos conjuntos
Para entender o que dizem as leis de De Morgan, precisamos lembrar algumas definições de operações da teoria dos conjuntos. Especificamente, precisamos saber sobre o União e interseção de dois conjuntos e o complemento de um conjunto.
As leis de De Morgan estão relacionadas à interação da união, interseção e complemento. Lembre-se de que:
- A interseção dos conjuntos UMA e B consiste em todos os elementos comuns a ambos UMA e B. A interseção é indicada por UMA ∩ B.
- A união dos conjuntos UMA e B consiste em todos os elementos que, em qualquer UMA ou B, incluindo os elementos nos dois conjuntos. A interseção é indicada por A U B.
- O complemento do conjunto UMA consiste em todos os elementos que não são elementos de UMA. Este complemento é indicado por AC.
Agora que recordamos essas operações elementares, veremos a declaração das Leis de De Morgan. Para cada par de conjuntos UMA e B temos:
- (UMA ∩ B)C = UMAC você BC
- (UMA você B)C = UMAC ∩ BC
Essas duas declarações podem ser ilustradas pelo uso dos diagramas de Venn. Como visto abaixo, podemos demonstrar usando um exemplo. Para demonstrar que essas afirmações são verdadeiras, devemos prová-los usando definições de operações da teoria dos conjuntos.
Exemplo das leis de De Morgan
Por exemplo, considere o conjunto de numeros reais de 0 a 5. Nós escrevemos isso na notação de intervalo [0, 5]. Dentro deste conjunto, temos UMA = [1, 3] e B = [2, 4]. Além disso, após aplicar nossas operações elementares, temos:
- O complemento UMAC = [0, 1) U (3, 5]
- O complemento BC = [0, 2) U (4, 5]
- A União UMA você B = [1, 4]
- A interseção UMA ∩ B = [2, 3]
Começamos calculando a união UMAC você BC. Vemos que a união de [0, 1) U (3, 5] com [0, 2) U (4, 5] é [0, 2) U (3, 5]. A interseção UMA ∩ B é [2, 3]. Vemos que o complemento deste conjunto [2, 3] também é [0, 2) U (3, 5]. Desta forma, demonstramos que UMAC você BC = (UMA ∩ B)C.
Agora vemos a interseção de [0, 1) U (3, 5] com [0, 2) U (4, 5] é [0, 1) U (4, 5]. Também vemos que o complemento de [1, 4] também é [0, 1) U (4, 5]. Desta forma, demonstramos que UMAC ∩ BC = (UMA você B)C.
Nomeação das leis de De Morgan
Ao longo da história da lógica, pessoas como Aristóteles e William of Ockham fizeram declarações equivalentes às leis de De Morgan.
As leis de De Morgan têm o nome de Augustus De Morgan, que viveu entre 1806 e 1871. Embora ele não tenha descoberto essas leis, ele foi o primeiro a introduzir formalmente essas declarações usando uma formulação matemática na lógica proposicional.