Intervalo de confiança para uma média quando conhecemos a Sigma

Dentro Estatística inferencial, um dos principais objetivos é estimar um desconhecido populaçãoparâmetro. Você começa com um amostra estatísticae, a partir disso, você pode determinar um intervalo de valores para o parâmetro Esse intervalo de valores é chamado de intervalo de confiança.

Intervalos de confiança são todos semelhantes em alguns aspectos. Primeiro, muitos intervalos de confiança nos dois lados têm a mesma forma:

Estimativa ± Margem de erro

Segundo, as etapas para calcular os intervalos de confiança são muito semelhantes, independentemente do tipo de intervalo de confiança que você está tentando encontrar. O tipo específico de intervalo de confiança que será examinado abaixo é um intervalo de confiança bilateral para uma média da população quando você conhece a população desvio padrão. Além disso, suponha que você esteja trabalhando com uma população que é distribuído normalmente.

Abaixo está um processo para encontrar o intervalo de confiança desejado. Embora todas as etapas sejam importantes, a primeira é particularmente assim:

1. Verificar condições: Comece assegurando que as condições para seu intervalo de confiança foram atendidas. Suponha que você saiba o valor do desvio padrão da população, indicado pelo Letra grega sigma σ. Além disso, assuma uma distribuição normal.
2. Calcular estimativa: Estime o parâmetro populacional - neste caso, a média populacional - usando uma estatística, que neste problema é a média da amostra. Isso envolve formar um amostra aleatória simples da população. Às vezes, você pode supor que sua amostra é uma amostra aleatória simples, mesmo que não atenda à definição estrita.
3. Valor crítico: Obtenha o valor crítico z^* isso corresponde ao seu nível de confiança. Esses valores são encontrados consultando um tabela de z-scores ou usando o software. Você pode usar uma tabela de pontuação z porque conhece o valor do desvio padrão da população e assume que a população é normalmente distribuída. Os valores críticos comuns são 1.645 para um nível de confiança de 90%, 1.960 para um nível de confiança de 95% e 2.576 para um nível de confiança de 99%.
4. Margem de erro: Calcular a margem de erro z^* σ /√n, Onde n é o tamanho da amostra aleatória simples que você formou.
5. Concluir: Termine reunindo a estimativa e a margem de erro. Isso pode ser expresso como Estimativa ± Margem de erro ou como Estimativa - margem de erro para Estimativa + margem de erro. Certifique-se de declarar claramente o nível de confiança que está anexado ao seu intervalo de confiança.

Para ver como você pode construir um intervalo de confiança, trabalhe com um exemplo. Suponha que você saiba que as pontuações de QI de todos os calouros da faculdade são normalmente distribuídas com desvio padrão de 15. Você tem uma amostra aleatória simples de 100 calouros e a pontuação média de QI para esta amostra é 120. Encontre um intervalo de confiança de 90% para a pontuação média de QI para toda a população de calouros da faculdade.

Siga as etapas descritas acima:

1. Verificar condições: As condições foram atendidas desde que você soube que o desvio padrão da população é 15 e que você está lidando com uma distribuição normal.
2. Calcular estimativa: Você foi informado de que possui uma amostra aleatória simples de tamanho 100. O QI médio para esta amostra é 120, então essa é sua estimativa.
3. Valor crítico: O valor crítico para o nível de confiança de 90% é dado por z^* = 1.645.
4. Margem de erro: Usar a fórmula da margem de erro e obtenha um erro de z^* σ /√n = (1.645)(15) /√(100) = 2.467.
5. Concluir: Conclua colocando tudo junto. Um intervalo de confiança de 90% para a pontuação média de QI da população é de 120 ± 2,467. Como alternativa, você pode indicar esse intervalo de confiança como 117.5325 a 122.4675.

Intervalos de confiança do tipo acima não são muito realistas. É muito raro saber o desvio padrão da população, mas não a média da população. Existem maneiras de remover essa suposição irrealista.

Embora você tenha assumido uma distribuição normal, essa suposição não precisa ser mantida. Amostras agradáveis, que não apresentam forte assimetria ou tiver discrepantes, juntamente com um tamanho de amostra grande o suficiente, permitem invocar o Teorema do limite central. Como resultado, você está justificado em usar uma tabela de z-scores, mesmo para populações que não são normalmente distribuídas.