Qual é a aproximação normal à distribuição binomial?

Variáveis ​​aleatórias com uma distribuição binomial são conhecidos por serem discretos. Isso significa que há um número contável de resultados que podem ocorrer em uma distribuição binomial, com separação entre esses resultados. Por exemplo, uma variável binomial pode assumir um valor de três ou quatro, mas não um número entre três e quatro.

Com o caráter discreto de uma distribuição binomial, é surpreendente que uma variável aleatória contínua possa ser usada para aproximar uma distribuição binomial. Para muitos distribuições binomiais, podemos usar uma distribuição normal para aproximar nossas probabilidades binomiais.

Isso pode ser visto ao olhar para n lançamentos de moedas e deixar X seja o número de cabeças. Nesta situação, temos uma distribuição binomial com probabilidade de sucesso como p = 0,5. À medida que aumentamos o número de lançamentos, vemos que a probabilidade histograma tem cada vez mais semelhança com uma distribuição normal.

Toda distribuição normal é completamente definida por dois

A seleção da distribuição normal correta é determinada pelo número de tentativas n no cenário binomial e a probabilidade constante de sucesso p para cada uma dessas tentativas. A aproximação normal para nossa variável binomial é uma média de np e um desvio padrão de (np(1 - p)^0.5.

Por exemplo, suponha que tenhamos adivinhado em cada uma das 100 perguntas de um teste de múltipla escolha, em que cada pergunta teve uma resposta correta em quatro opções. O número de respostas corretas X é uma variável aleatória binomial com n = 100 e p = 0.25. Portanto, essa variável aleatória tem média de 100 (0,25) = 25 e um desvio padrão de (100 (0,25) (0,75))^0.5 = 4.33. Uma distribuição normal com média 25 e desvio padrão de 4,33 funcionará para aproximar essa distribuição binomial.

Usando alguma matemática, pode-se mostrar que existem algumas condições que precisamos usar uma aproximação normal à distribuição binomial. O número de observações n deve ser grande o suficiente e o valor de p para que ambos np e n(1 - p) são maiores ou iguais a 10. Essa é uma regra prática, guiada pela prática estatística. A aproximação normal sempre pode ser usada, mas se essas condições não forem atendidas, a aproximação poderá não ser tão boa quanto uma aproximação.

Por exemplo, se n = 100 e p = 0,25, justificamos o uso da aproximação normal. Isto é porque np = 25 e n(1 - p) = 75. Como esses dois números são maiores que 10, a distribuição normal apropriada fará um bom trabalho ao estimar as probabilidades binomiais.

As probabilidades binomiais são calculadas usando uma fórmula muito simples para encontrar o coeficiente binomial. Infelizmente, devido ao fatoriais Na fórmula, pode ser muito fácil encontrar dificuldades computacionais com o binomial Fórmula. A aproximação normal nos permite contornar qualquer um desses problemas trabalhando com um amigo familiar, uma tabela de valores de uma distribuição normal padrão.

Muitas vezes, a determinação de uma probabilidade de uma variável aleatória binomial cair dentro de uma faixa de valores é tediosa para calcular. Isso ocorre porque, para encontrar a probabilidade de uma variável binomial X for maior que 3 e menor que 10, precisaríamos encontrar a probabilidade de que X é igual a 4, 5, 6, 7, 8 e 9 e, em seguida, adiciona todas essas probabilidades. Se a aproximação normal puder ser usada, precisaremos determinar os escores z correspondentes a 3 e 10 e, em seguida, usar uma tabela de probabilidades de escores z para o distribuição normal padrão.