Uma coisa que é ótima na matemática é a maneira como áreas aparentemente não relacionadas do assunto se reúnem de maneiras surpreendentes. Um exemplo disso é a aplicação de uma idéia do cálculo para o curva de sino. Uma ferramenta em cálculo conhecida como derivada é usada para responder à seguinte pergunta. Onde estão os pontos de inflexão no gráfico da função de densidade de probabilidade para o normal distribuição?
As curvas têm uma variedade de recursos que podem ser classificados e categorizados. Um item referente às curvas que podemos considerar é se o gráfico de uma função está aumentando ou diminuindo. Outro recurso refere-se a algo conhecido como concavidade. Isso pode ser pensado como a direção que uma parte da curva enfrenta. Mais formalmente, a concavidade é a direção da curvatura.
Diz-se que uma parte de uma curva é côncava se tiver o formato da letra U. Uma parte de uma curva é côncava para baixo se tiver o formato ∩ a seguir. É fácil lembrar como é isso se pensarmos em uma caverna que se abre para cima para côncava para cima ou para baixo para côncava para baixo. Um ponto de inflexão é o local em que uma curva altera a concavidade. Em outras palavras, é um ponto em que uma curva passa de côncava para côncava ou vice-versa.
No cálculo, a derivada é uma ferramenta usada de várias maneiras. Embora o uso mais conhecido da derivada seja determinar a inclinação de uma linha tangente a uma curva em um determinado ponto, existem outras aplicações. Uma dessas aplicações tem a ver com a localização de pontos de inflexão no gráfico de uma função.
Se o gráfico de y = f (x) tem um ponto de inflexão em x = a, então a segunda derivada de f avaliado em uma é zero. Escrevemos isso em notação matemática como f '' (a) = 0. Se a segunda derivada de uma função é zero em um ponto, isso não implica automaticamente que encontramos um ponto de inflexão. No entanto, podemos procurar possíveis pontos de inflexão vendo onde a segunda derivada é zero. Usaremos esse método para determinar a localização dos pontos de inflexão da distribuição normal.
A partir disso, é fácil ver que os pontos de inflexão ocorrem onde x = μ ± σ. Em outras palavras, os pontos de inflexão estão localizados um desvio padrão acima da média e um desvio padrão abaixo da média.