O cálculo de um amostra variação ou desvio padrão é geralmente indicado como uma fração. O numerador dessa fração envolve uma soma dos desvios ao quadrado da média. Nas estatísticas, a fórmula para essa soma total de quadrados é
Σ (xEu - x̄)2
Aqui, o símbolo x̄ se refere à média da amostra e o símbolo Σ nos diz para somar as diferenças ao quadrado (xEu - x̄) para todos Eu.
Embora essa fórmula funcione para cálculos, existe uma fórmula equivalente de atalho que não exige que calculemos primeiro o média da amostra. Essa fórmula de atalho para a soma dos quadrados é
Σ (xEu2) - (Σ xEu)2/n
Aqui a variável n refere-se ao número de pontos de dados em nossa amostra.
Exemplo de fórmula padrão
Para ver como essa fórmula de atalho funciona, consideraremos um exemplo calculado usando as duas fórmulas. Suponha que nossa amostra seja 2, 4, 6, 8. A média da amostra é (2 + 4 + 6 + 8) / 4 = 20/4 = 5. Agora calculamos a diferença de cada ponto de dados com a média 5.
- 2 – 5 = -3
- 4 – 5 = -1
- 6 – 5 = 1
- 8 – 5 = 3
Agora, agrupamos cada um desses números e os somamos. (-3)2 + (-1)2 + 12 + 32 = 9 + 1 + 1 + 9 = 20.
Exemplo de fórmula de atalho
Agora usaremos o mesmo conjunto de dados: 2, 4, 6, 8, com a fórmula de atalho para determinar a soma dos quadrados. Primeiro, colocamos em quadrado cada ponto de dados e os somamos: 22 + 42 + 62 + 82 = 4 + 16 + 36 + 64 = 120.
O próximo passo é somar todos os dados e elevar ao quadrado esta soma: (2 + 4 + 6 + 8)2 = 400. Dividimos isso pelo número de pontos de dados para obter 400/4 = 100.
Agora, subtraímos esse número de 120. Isso nos dá que a soma dos desvios ao quadrado é 20. Esse foi exatamente o número que já encontramos da outra fórmula.
Como é que isso funciona?
Muitas pessoas simplesmente aceitam a fórmula pelo valor nominal e não têm idéia do porquê dessa fórmula funcionar. Usando um pouco de álgebra, podemos ver por que essa fórmula de atalho é equivalente à maneira tradicional e tradicional de calcular a soma dos desvios ao quadrado.
Embora possa haver centenas, senão milhares de valores em um conjunto de dados do mundo real, assumiremos que existem apenas três valores de dados: x1, x2, x3. O que vemos aqui pode ser expandido para um conjunto de dados com milhares de pontos.
Começamos observando que (x1 + x2 + x3) = 3 x̄. A expressão Σ (xEu - x̄)2 = (x1 - x̄)2 + (x2 - x̄)2 + (x3 - x̄)2.
Agora usamos o fato da álgebra básica de que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Isso significa que (x1 - x̄)2 = x12 -2x1 x̄ + x̄2. Fazemos isso para os outros dois termos de nossa soma e temos:
x12 -2x1 x̄ + x̄2 + x22 -2x2 x̄ + x̄2 + x32 -2x3 x̄ + x̄2.
Reorganizamos isso e temos:
x12+ x22 + x32+ 3x̄2 - 2x̄ (x1 + x2 + x3) .
Reescrevendo (x1 + x2 + x3) = 3x̄ o acima se torna:
x12+ x22 + x32 - 3x̄2.
Agora desde 3x̄2 = (x1+ x2 + x3)2/ 3, nossa fórmula passa a ser:
x12+ x22 + x32 - (x1+ x2 + x3)2/3
E este é um caso especial da fórmula geral mencionada acima:
Σ (xEu2) - (Σ xEu)2/n
É realmente um atalho?
Pode não parecer que essa fórmula seja realmente um atalho. Afinal, no exemplo acima, parece que existem tantos cálculos. Parte disso tem a ver com o fato de que apenas analisamos um tamanho de amostra pequeno.
À medida que aumentamos o tamanho da nossa amostra, vemos que a fórmula de atalho reduz o número de cálculos pela metade. Não precisamos subtrair a média de cada ponto de dados e depois quadrar o resultado. Isso reduz consideravelmente o número total de operações.