Uma pergunta natural a ser feita sobre uma distribuição de probabilidade é: "Qual é o seu centro?" O valor esperado é uma dessas medidas do centro de uma distribuição de probabilidade. Como mede a média, não é de surpreender que essa fórmula seja derivada da média.
Para estabelecer um ponto de partida, devemos responder à pergunta "Qual é o valor esperado?" Suponha que tenhamos uma variável aleatória associada a um experimento de probabilidade. Digamos que repetimos esse experimento repetidamente. No longo prazo, várias repetições do mesmo experimento de probabilidade, se calcularmos a média de todos os nossos valores de variável aleatória, obteríamos o valor esperado.
A seguir, veremos como usar a fórmula para o valor esperado. Examinaremos as configurações discretas e contínuas e veremos as semelhanças e diferenças nas fórmulas.
A fórmula para uma variável aleatória discreta
Começamos analisando o caso discreto. Dada uma variável aleatória discreta X, suponha que ele tenha valores x1,
x2, x3,... xne respectivas probabilidades de p1, p2, p3,... pn. Isto está dizendo que a função de massa de probabilidade para essa variável aleatória fornece f(xEu) = pEu.O valor esperado de X é dada pela fórmula:
E (X) = x1p1 + x2p2 + x3p3 +... + xnpn.
O uso da função de massa de probabilidade e da notação de soma permite escrever de forma mais compacta essa fórmula da seguinte maneira, onde a soma é assumida sobre o índice Eu:
E (X) = Σ xEuf(xEu).
É útil ver esta versão da fórmula, porque também funciona quando temos um espaço de amostra infinito. Essa fórmula também pode ser facilmente ajustada para o caso contínuo.
Um exemplo
Jogue uma moeda três vezes e deixe X seja o número de cabeças. A variável aleatória X é discreto e finito. Os únicos valores possíveis que podemos ter são 0, 1, 2 e 3. Isso tem distribuição de probabilidade de 1/8 para X = 0, 3/8 para X = 1, 3/8 para X = 2, 1/8 para X = 3. Use a fórmula do valor esperado para obter:
(1/8)0 + (3/8)1 + (3/8)2 + (1/8)3 = 12/8 = 1.5
Neste exemplo, vemos que, a longo prazo, calcularemos em média um total de 1,5 cabeças desse experimento. Isso faz sentido com a nossa intuição, pois metade de 3 é 1,5.
A fórmula para uma variável aleatória contínua
Passamos agora a uma variável aleatória contínua, que iremos denotar por X. Vamos deixar a função densidade de probabilidade de X ser dado pela função f(x).
O valor esperado de X é dada pela fórmula:
E (X) = ∫ x f(x) dx.
Aqui vemos que o valor esperado de nossa variável aleatória é expresso como uma integral.
Aplicações de Valor Esperado
Há muitos aplicativos para o valor esperado de uma variável aleatória. Esta fórmula faz uma aparição interessante no Paradoxo de São Petersburgo.