Qual é o valor esperado em probabilidade?

Você está em um carnaval e vê um jogo. Por US $ 2, você joga um dado de seis lados padrão. Se o número mostrado for seis, você ganha $ 10, caso contrário, você não ganha nada. Se você está tentando ganhar dinheiro, é do seu interesse jogar o jogo? Para responder a uma pergunta como essa, precisamos do conceito de valor esperado.

O valor esperado pode realmente ser pensado como a média de uma variável aleatória. Isso significa que, se você executou uma experiência de probabilidade repetidas vezes, acompanhando os resultados, o valor esperado é o média de todos os valores obtidos. O valor esperado é o que você deve esperar que aconteça no longo prazo de muitas tentativas de um jogo de azar.

O jogo de carnaval mencionado acima é um exemplo de uma variável aleatória discreta. A variável não é contínua e cada resultado chega até nós em um número que pode ser separado dos outros. Para encontrar o valor esperado de um jogo com resultados x₁, x₂,..., x_n com probabilidades p₁, p₂,... , p_n, calcule:

x₁p₁ + x₂p₂ +... + x_np_n.

Para o jogo acima, você tem uma probabilidade de 5/6 de ganhar nada. O valor desse resultado é -2, pois você gastou US $ 2 para jogar. Um seis tem uma probabilidade de 1/6 de aparecer, e esse valor tem um resultado de 8. Por que 8 e não 10? Novamente, precisamos contabilizar os $ 2 que pagamos para jogar e 10 - 2 = 8.

Agora, conecte esses valores e probabilidades ao esperado fórmula de valor e termine com: -2 (5/6) + 8 (1/6) = -1/3. Isso significa que, a longo prazo, você deverá perder em média cerca de 33 centavos cada vez que jogar este jogo. Sim, você ganhará às vezes. Mas você vai perder com mais frequência.

Agora, suponha que o jogo de carnaval tenha sido modificado levemente. Pela mesma taxa de inscrição de US $ 2, se o número exibido for seis, você ganha US $ 12, caso contrário, você não ganha nada. O valor esperado deste jogo é -2 (5/6) + 10 (1/6) = 0. A longo prazo, você não perderá dinheiro, mas não ganhará nenhum. Não espere assistir a um jogo com esses números no carnaval local. Se, a longo prazo, você não perderá dinheiro, o carnaval não ganhará.

Agora vire para o cassino. Da mesma maneira que antes, podemos calcular o valor esperado de jogos de azar, como roleta. Nos EUA, uma roleta tem 38 slots numerados de 1 a 36, ​​0 e 00. Metade dos 1-36 são vermelhos, metade são pretos. 0 e 00 são verdes. Uma bola cai aleatoriamente em um dos slots e as apostas são feitas no local em que a bola vai cair.

Uma das apostas mais simples é apostar no vermelho. Aqui, se você apostar $ 1 e a bola cair em um número vermelho na roda, você ganhará $ 2. Se a bola cair em um espaço preto ou verde da roda, você não ganhará nada. Qual é o valor esperado em uma aposta como essa? Como existem 18 espaços em vermelho, existe uma probabilidade de 18/38 de ganhar, com um ganho líquido de $ 1. Há uma probabilidade de 20/38 de perder sua aposta inicial de $ 1. O valor esperado desta aposta em roleta é 1 (18/38) + (-1) (20/38) = -2/38, ou seja, cerca de 5,3 centavos. Aqui a casa tem uma ligeira vantagem (como em todos os jogos de cassino).

Como outro exemplo, considere um loteria. Embora milhões possam ser ganhos pelo preço de um bilhete de US $ 1, o valor esperado de um jogo de loteria mostra o quão injustamente é construído. Suponha que, por US $ 1, você escolha seis números de 1 a 48. A probabilidade de escolher todos os seis números corretamente é 1 / 12.271.512. Se você ganhar US $ 1 milhão por acertar todas as seis, qual é o valor esperado desta loteria? Os valores possíveis são - US $ 1 para perder e US $ 999.999 para ganhar (mais uma vez, temos que contabilizar o custo para jogar e subtraí-lo dos ganhos). Isso nos dá um valor esperado de:

(-1)(12,271,511/12,271,512) + (999,999)(1/12,271,512) = -.918

Portanto, se você jogar na loteria repetidamente, a longo prazo, perderá cerca de 92 centavos - quase todo o preço do seu bilhete - toda vez que jogar.

Todos os exemplos acima analisam uma descrição variável aleatória. No entanto, é possível definir o valor esperado para uma variável aleatória contínua também. Tudo o que devemos fazer neste caso é substituir o somatório em nossa fórmula por uma integral.

É importante lembrar que o valor esperado é a média após muitas tentativas de processo aleatório. No curto prazo, a média de uma variável aleatória pode variar significativamente do valor esperado.