Qual é a assimetria de uma distribuição exponencial?

Comum parâmetros para distribuição de probabilidade inclua a média e o desvio padrão. A média fornece uma medida do centro e o desvio padrão informa como está distribuída a distribuição. Além desses parâmetros bem conhecidos, há outros que chamam a atenção para outros recursos além do spread ou do centro. Uma dessas medidas é a de assimetria. A assimetria fornece uma maneira de anexar um valor numérico à assimetria de uma distribuição.

Uma distribuição importante que examinaremos é a distribuição exponencial. Veremos como provar que a assimetria de uma distribuição exponencial é 2.

Começamos declarando a função de densidade de probabilidade para uma distribuição exponencial. Cada uma dessas distribuições possui um parâmetro, que está relacionado ao parâmetro do respectivo Processo de Poisson. Denotamos essa distribuição como Exp (A), onde A é o parâmetro. A função densidade de probabilidade para esta distribuição é:

f(x) = e^-x/UMA/ A, onde x é não-negativo.

Aqui e é o matemático constante e isto é aproximadamente 2,718281828. A média e o desvio padrão da distribuição exponencial Exp (A) estão ambos relacionados ao parâmetro A. De fato, a média e o desvio padrão são iguais a A.

A assimetria é definida por uma expressão relacionada ao terceiro momento sobre a média. Esta expressão é o valor esperado:

E [(X - μ)³/σ³] = (E [X³] - 3μ E [X²] + 3μ²E [X] - μ³)/σ³ = (E [X³] – 3μ(σ² – μ³)/σ³.

Substituímos μ e σ por A, e o resultado é que a assimetria é E [X³] / UMA³ – 4.

Tudo o que resta é calcular o terceiro momento sobre a origem. Para isso, precisamos integrar o seguinte:

∫^∞₀x³f(x) dx.

Essa integral possui um infinito para um de seus limites. Assim, pode ser avaliado como uma integral imprópria do tipo I. Também devemos determinar qual técnica de integração usar. Como a função a integrar é o produto de uma função polinomial e exponencial, precisaríamos usar Integração por partes. Essa técnica de integração é aplicada várias vezes. O resultado final é que:

EX³] = 6A³

Em seguida, combinamos isso com nossa equação anterior para a assimetria. Vemos que a assimetria é 6 - 4 = 2.

É importante observar que o resultado é independente da distribuição exponencial específica com a qual começamos. A assimetria da distribuição exponencial não depende do valor do parâmetro A.

Além disso, vemos que o resultado é uma distorção positiva. Isso significa que a distribuição está inclinada para a direita. Isso não deve surpreender, pois pensamos na forma do gráfico da função de densidade de probabilidade. Todas essas distribuições têm intercepto em y como 1 // teta e uma cauda que vai para a extrema direita do gráfico, correspondendo a valores altos da variável x.

Obviamente, também devemos mencionar que existe outra maneira de calcular a assimetria. Podemos utilizar a função de geração de momento para a distribuição exponencial. A primeira derivada do função geradora de momento avaliado em 0 nos dá E [X]. Da mesma forma, a terceira derivada da função geradora de momento, quando avaliada em 0, nos dá E (X³].