Existem várias propriedades matemáticas usadas em Estatisticas e probabilidade; duas delas, as propriedades comutativas e associativas, geralmente estão associadas à aritmética básica da inteiros, racionais e numeros reais, embora eles também apareçam em matemática mais avançada.
Essas propriedades - a comutativa e a associativa - são muito semelhantes e podem ser facilmente confundidas. Por esse motivo, é importante entender a diferença entre os dois.
A propriedade comutativa diz respeito à ordem de certas operações matemáticas. Para uma operação binária - que envolve apenas dois elementos - isso pode ser mostrado pela equação a + b = b + a. A operação é comutativa porque a ordem dos elementos não afeta o resultado da operação. A propriedade associativa, por outro lado, refere-se ao agrupamento de elementos em uma operação. Isso pode ser mostrado pela equação (a + b) + c = a + (b + c). O agrupamento dos elementos, conforme indicado entre parênteses, não afeta o resultado da equação. Observe que quando a propriedade comutativa é usada, os elementos em uma equação são
reorganizado. Quando a propriedade associativa é usada, os elementos são meramente reagrupado.Propriedade comutativa
Simplificando, a propriedade comutativa afirma que os fatores em uma equação podem ser reorganizados livremente sem afetar o resultado da equação. A propriedade comutativa, portanto, se preocupa com a ordem das operações, incluindo a adição e multiplicação de números reais, inteiros e números racionais.
Por exemplo, os números 2, 3 e 5 podem ser adicionados juntos em qualquer ordem sem afetar o resultado final:
2 + 3 + 5 = 10
3 + 2 + 5 = 10
5 + 3 + 2 = 10
Os números também podem ser multiplicados em qualquer ordem, sem afetar o resultado final:
2 x 3 x 5 = 30
3 x 2 x 5 = 30
5 x 3 x 2 = 30
Subtração e divisão, no entanto, não são operações que podem ser comutativas porque a ordem das operações é importante. Os três números acima não podes, por exemplo, seja subtraído em qualquer ordem sem afetar o valor final:
2 - 3 - 5 = -6
3 - 5 - 2 = -4
5 - 3 - 2 = 0
Como resultado, a propriedade comutativa pode ser expressa através das equações a + b = b + a e a x b = b x a. Independentemente da ordem dos valores nessas equações, os resultados serão sempre os mesmos.
Propriedade associativa
A propriedade associativa afirma que o agrupamento de fatores em uma operação pode ser alterado sem afetar o resultado da equação. Isso pode ser expresso através da equação a + (b + c) = (a + b) + c. Não importa qual par de valores na equação seja adicionado primeiro, o resultado será o mesmo.
Por exemplo, considere a equação 2 + 3 + 5. Não importa como os valores estão agrupados, o resultado da equação será 10:
(2 + 3) + 5 = (5) + 5 = 10
2 + (3 + 5) = 2 + (8) = 10
Assim como na propriedade comutativa, exemplos de operações associativas incluem a adição e multiplicação de números reais, inteiros e números racionais. No entanto, diferentemente da propriedade comutativa, a propriedade associativa também pode ser aplicada à multiplicação da matriz e composição da função.
Como equações de propriedades comutativas, as equações de propriedades associativas não podem conter a subtração de números reais. Tomemos, por exemplo, o problema aritmético (6 - 3) - 2 = 3 - 2 = 1; se mudarmos o agrupamento dos parênteses, temos 6 - (3 - 2) = 6 - 1 = 5, o que altera o resultado final da equação.
Qual é a diferença?
Podemos dizer a diferença entre a propriedade associativa e a comutativa, fazendo a pergunta: “Estamos mudando a ordem de os elementos, ou estamos mudando o agrupamento dos elementos? ” Se os elementos estiverem sendo reordenados, a propriedade comutativa aplica-se. Se os elementos estiverem sendo reagrupados apenas, a propriedade associativa será aplicada.
No entanto, observe que a presença de parênteses por si só não significa necessariamente que a propriedade associativa se aplica. Por exemplo:
(2 + 3) + 4 = 4 + (2 + 3)
Esta equação é um exemplo da propriedade comutativa da adição de números reais. Se prestarmos muita atenção à equação, veremos que apenas a ordem dos elementos foi alterada, não o agrupamento. Para que a propriedade associativa se aplique, teríamos que reorganizar o agrupamento dos elementos também:
(2 + 3) + 4 = (4 + 2) + 3