Como a probabilidade se encaixa no jogo do monopólio

Monopólio é um jogo de tabuleiro no qual os jogadores colocam o capitalismo em ação. Os jogadores compram e vendem propriedades e cobram aluguel um do outro. Embora existam partes sociais e estratégicas do jogo, os jogadores movem suas peças ao redor do tabuleiro lançando dois dados padrão de seis lados. Como isso controla como os jogadores se movem, também há um aspecto de probabilidade no jogo. Sabendo apenas alguns fatos, podemos calcular a probabilidade de aterrissar em determinados espaços durante os dois primeiros turnos no início do jogo.

Em cada turno, um jogador lança dois dados e, em seguida, move sua peça com muitos espaços no tabuleiro. Portanto, é útil revisar o probabilidades de rolar dois dados. Em resumo, as seguintes somas são possíveis:

• Uma soma de dois tem probabilidade 1/36.
• Uma soma de três tem probabilidade 2/36.
• Uma soma de quatro tem probabilidade 3/36.
• Uma soma de cinco tem probabilidade 4/36.
• Uma soma de seis tem probabilidade 5/36.
• Uma soma de sete tem probabilidade 6/36.
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• Uma soma de oito tem probabilidade 5/36.
• Uma soma de nove tem probabilidade 4/36.
• Uma soma de dez tem probabilidade 3/36.
• Uma soma de onze tem probabilidade 2/36.
• Uma soma de doze tem probabilidade 1/36.

Essas probabilidades serão muito importantes à medida que continuarmos.

Também precisamos tomar nota do tabuleiro de jogo Monopoly. Há um total de 40 espaços ao redor do tabuleiro, com 28 dessas propriedades, ferrovias ou serviços públicos que podem ser adquiridos. Seis espaços envolvem a retirada de uma carta das pilhas de Chance ou Baú da Comunidade. Três espaços são espaços livres em que nada acontece. Dois espaços que envolvem o pagamento de impostos: imposto de renda ou imposto de luxo. Um espaço envia o jogador para a cadeia.

Consideraremos apenas os dois primeiros turnos de um jogo de monopólio. No decorrer desses turnos, o mais longe possível do jogo é rolar doze duas vezes e mover um total de 24 espaços. Portanto, examinaremos apenas os primeiros 24 espaços no quadro. Em ordem, esses espaços são:

1. Mediterranean Avenue
2. Baú da comunidade
3. Avenida do Báltico
4. Imposto de Renda
5. Ferrovia de leitura
6. Avenida Oriental
7. Chance
8. Vermont Avenue
9. Imposto de Connecticut
10. Apenas visitando a cadeia
11. St. James Place
12. Companhia Elétrica
13. States Avenue
14. Virginia Avenue
15. Ferrovia da Pensilvânia
16. St. James Place
17. Baú da comunidade
18. Tennessee Avenue
19. New York Avenue
20. Estacionamento grátis
21. Kentucky Avenue
22. Chance
23. Indiana Avenue
24. Illinois Avenue

O primeiro turno é relativamente direto. Como temos probabilidades de lançar dois dados, simplesmente os combinamos com os quadrados apropriados. Por exemplo, o segundo espaço é um quadrado do peito da comunidade e existe uma probabilidade de 1/36 de rolar uma soma de dois. Portanto, existe uma probabilidade de 1/36 de aterrissagem no Baú da Comunidade no primeiro turno.

Abaixo estão as probabilidades de aterrissagem nos seguintes espaços no primeiro turno:

• Peito da Comunidade - 1/36
• Avenida Báltico - 2/36
• Imposto de Renda - 3/36
• Ferrovia de Leitura - 4/36
• Avenida Oriental - 5/36
• Sorte - 6/36
• Vermont Avenue - 5/36
• Imposto de Connecticut - 4/36
• Apenas visitando a prisão - 3/36
• St. James Place - 2/36
• Companhia Elétrica - 1/36

Calcular as probabilidades para o segundo turno é um pouco mais difícil. Podemos rolar um total de dois nos dois turnos e percorrer um mínimo de quatro espaços, ou um total de 12 nos dois turnos e percorrer um máximo de 24 espaços. Quaisquer espaços entre quatro e 24 também podem ser alcançados. Mas isso pode ser feito de maneiras diferentes. Por exemplo, podemos mover um total de sete espaços movendo qualquer uma das seguintes combinações:

• Dois espaços no primeiro turno e cinco espaços no segundo turno
• Três espaços no primeiro turno e quatro espaços no segundo turno
• Quatro espaços no primeiro turno e três espaços no segundo turno
• Cinco espaços no primeiro turno e dois espaços no segundo turno

Devemos considerar todas essas possibilidades ao calcular probabilidades. Os lances de cada turno são independentes do lance do próximo turno. Portanto, não precisamos nos preocupar com Probabilidade Condicional, mas basta multiplicar cada uma das probabilidades:

• A probabilidade de rolar um dois e depois um cinco é (1/36) x (4/36) = 4/1296.
• A probabilidade de rolar um três e depois um quatro é (2/36) x (3/36) = 6/1296.
• A probabilidade de rolar um quatro e depois um três é (3/36) x (2/36) = 6/1296.
• A probabilidade de rolar um cinco e depois um dois é (4/36) x (1/36) = 4/1296.

Outras probabilidades para dois turnos são calculadas da mesma maneira. Para cada caso, precisamos apenas descobrir todas as maneiras possíveis para obter uma soma total correspondente a esse quadrado do tabuleiro de jogo. Abaixo estão as probabilidades (arredondadas para o centésimo mais próximo de um por cento) de aterrissagem nos seguintes espaços no primeiro turno:

• Imposto de Renda - 0,08%
• Ferrovia da Leitura - 0,31%
• Avenida Oriental - 0,77%
• Sorte - 1,54%
• Avenida Vermont - 2,70%
• Imposto de Connecticut - 4,32%
• Apenas visitando a prisão - 6,17%
• St. James Place - 8,02%
• Companhia Elétrica - 9,65%
• Avenida dos Estados Unidos - 10,80%
• Avenida da Virgínia - 11,27%
• Ferrovia da Pensilvânia - 10,80%
• St. James Place - 9.65%
• Baú da Comunidade - 8.02%
• Avenida Tennessee 6,17%
• Avenida Nova York 4,32%
• Estacionamento Gratuito - 2,70%
• Avenida Kentucky - 1,54%
• Sorte - 0,77%
• Avenida Indiana - 0,31%
• Avenida Illinois - 0,08%

Por mais turnos, a situação se torna ainda mais difícil. Um dos motivos é que, nas regras do jogo, se rolarmos duas vezes seguidas, vamos para a cadeia. Essa regra afetará nossas probabilidades de maneiras que não precisávamos considerar anteriormente. Além dessa regra, há efeitos das cartas de chance e comunitária que não estamos considerando. Algumas dessas cartas direcionam os jogadores a pular espaços e ir diretamente para espaços específicos.

Devido ao aumento da complexidade computacional, fica mais fácil calcular probabilidades por mais do que apenas algumas voltas usando os métodos de Monte Carlo. Os computadores podem simular centenas de milhares, se não milhões, de jogos de monopólio, e as probabilidades de aterrissar em cada espaço podem ser calculadas empiricamente a partir desses jogos.