Probabilidade de uma reta pequena em Yahtzee em um rolo

Yahtzee é um jogo de dados que usa cinco dados de seis lados padrão. Em cada turno, os jogadores recebem três rolos para obter vários objetivos diferentes. Após cada jogada, um jogador pode decidir qual dos dados (se houver) deve ser retido e quais devem ser re-rolados. Os objetivos incluem uma variedade de diferentes tipos de combinações, muitas das quais são retiradas do pôquer. Cada tipo diferente de combinação vale uma quantidade diferente de pontos.

Dois dos tipos de combinações que os jogadores devem rolar são chamados retas: uma pequena reta e uma grande reta. Como as sequências de pôquer, essas combinações consistem em dados seqüenciais. Pequenas retas empregam quatro dos cinco dados e grandes retas use todos os cinco dados. Devido à aleatoriedade do lançamento dos dados, a probabilidade pode ser usada para analisar a probabilidade de rolar uma pequena sequência em um único lançamento.

Assumimos que os dados utilizados são justos e independentes um do outro. Portanto, existe um espaço de amostra uniforme, consistindo em todos os possíveis lançamentos dos cinco dados. Apesar

Como estamos trabalhando com um uniformeespaço amostral, o cálculo de nossa probabilidade se torna um cálculo de alguns problemas de contagem. A probabilidade de uma sequência pequena é o número de maneiras de rolar uma sequência pequena, dividido pelo número de resultados no espaço da amostra.

É muito fácil contar o número de resultados no espaço da amostra. Estamos lançando cinco dados e cada um deles pode ter um de seis resultados diferentes. Uma aplicação básica do princípio da multiplicação nos diz que o espaço da amostra possui 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776 resultados. Este número será o denominador das frações que usamos para nossa probabilidade.

Em seguida, precisamos saber quantas maneiras existem para rolar uma pequena sequência. Isso é mais difícil do que calcular o tamanho do espaço da amostra. Começamos contando quantas retas são possíveis.

Uma sequência pequena é mais fácil de rolar do que uma sequência grande; no entanto, é mais difícil contar o número de maneiras de rolar esse tipo de sequência. Uma pequena sequência consiste em exatamente quatro números seqüenciais. Como existem seis faces diferentes do dado, existem três pequenas retas possíveis: {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4, 5} e {3, 4, 5, 6}. A dificuldade surge em considerar o que acontece com o quinto dado. Em cada um desses casos, o quinto dado deve ser um número que não crie uma sequência grande. Por exemplo, se os quatro primeiros dados forem 1, 2, 3 e 4, o quinto dado poderá ser diferente de 5. Se o quinto dado fosse um 5, teríamos uma sequência grande e não uma sequência pequena.

Isso significa que existem cinco possíveis jogadas que dão ao pequeno straight {1, 2, 3, 4}, cinco possíveis rolagens que dão a sequência pequena {3, 4, 5, 6} e quatro rolagens possíveis que dão a sequência pequena {2, 3, 4, 5}. Este último caso é diferente porque rolar 1 ou 6 para o quinto dado mudará {2, 3, 4, 5} para uma sequência maior. Isso significa que existem 14 maneiras diferentes pelas quais cinco dados podem nos dar uma pequena sequência.

Agora, determinamos o número diferente de maneiras de rolar um determinado conjunto de dados que nos dão uma sequência. Como precisamos apenas saber quantas maneiras existem para fazer isso, podemos usar algumas técnicas básicas de contagem.

Das 14 maneiras distintas de obter retas pequenas, apenas duas delas {1,2,3,4,6} e {1,3,4,5,6} são conjuntos com elementos distintos. Existem 5! = 120 maneiras de rolar cada uma, totalizando 2 x 5! = 240 pequenas retas.

As outras 12 maneiras de obter uma reta pequena são tecnicamente multisets, pois todas elas contêm um elemento repetido. Para um multiset específico, como [1,1,2,3,4], contaremos o número de diferentes maneiras de fazer isso. Pense nos dados como cinco posições seguidas:

• Existem C (5,2) = 10 maneiras de posicionar os dois elementos repetidos entre os cinco dados.
• Existem 3! = 6 maneiras de organizar os três elementos distintos.

Pelo princípio da multiplicação, existem 6 x 10 = 60 maneiras diferentes de rolar os dados 1,1,2,3,4 em um único rolo.

Existem 60 maneiras de rolar uma sequência tão pequena com este quinto dado em particular. Como existem 12 multisets que fornecem uma lista diferente de cinco dados, existem 60 x 12 = 720 maneiras de rolar uma pequena sequência na qual dois dados coincidem.

No total, existem 2 x 5! + 12 x 60 = 960 maneiras de rolar uma pequena reta.

Agora, a probabilidade de rolar uma pequena sequência é um cálculo de divisão simples. Como existem 960 maneiras diferentes de rolar uma pequena reta em um único rolo e existem 7776 rolos de cinco dados possíveis, a probabilidade de rolar uma pequena sequência é 960/7776, que é próximo de 1/8 e 12.3%.

Obviamente, é mais provável que o primeiro lançamento não seja um straight. Se for esse o caso, temos mais duas jogadas, o que tornará uma pequena sequência muito mais provável. A probabilidade disso é muito mais complicada de determinar devido a todas as situações possíveis que precisariam ser consideradas.