Aprendemos bastante cedo em nossa carreira de matemática que o fatorial, definido para números inteiros não negativos n, é uma maneira de descrever a multiplicação repetida. É indicado pelo uso de um ponto de exclamação. Por exemplo:
A única exceção a essa definição é zero fatorial, onde 0! = 1. Ao observarmos esses valores para o fatorial, poderíamos emparelhar n com n!. Isso nos daria os pontos (0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24), (5, 120), (6, 720) e assim por diante em.
A definição da função gama é muito complexa. Envolve uma fórmula de aparência complicada que parece muito estranha. A função gama utiliza algum cálculo em sua definição, bem como o número e Ao contrário de funções mais familiares, como polinômios ou funções trigonométricas, a função gama é definida como a integral imprópria de outra função.
A definição da função gama pode ser usada para demonstrar várias identidades. Um dos mais importantes é que Γ ( z + 1 ) = z Γ( z ). Podemos usar isso e o fato de que Γ (1) = 1 do cálculo direto:
Mas não precisamos inserir apenas números inteiros na função gama. Qualquer número complexo que não seja um número inteiro negativo está no domínio da função gama. Isso significa que podemos estender o fatorial a outros números que não números inteiros não negativos. Desses valores, um dos resultados mais conhecidos (e surpreendentes) é que Γ (1/2) = √π.
Outro resultado semelhante ao último é que Γ (1/2) = -2π. De fato, a função gama sempre produz uma saída de um múltiplo da raiz quadrada de pi quando um múltiplo ímpar de 1/2 é inserido na função.
A função gama aparece em muitos campos da matemática, aparentemente não relacionados. Em particular, a generalização do fatorial fornecido pela função gama é útil em alguns problemas combinatórios e de probabilidade. Alguns distribuições de probabilidade são definidos diretamente em termos da função gama. Por exemplo, a distribuição gama é declarada em termos da função gama. Essa distribuição pode ser usada para modelar o intervalo de tempo entre os terremotos. Distribuição t do aluno, que pode ser usado para dados em que temos um desvio padrão desconhecido da população e a distribuição do qui-quadrado também é definida em termos da função gama.