Momentos em estatística matemática envolvem um cálculo básico. Esses cálculos podem ser usados para encontrar a média, variação e assimetria de uma distribuição de probabilidade.
Suponha que tenhamos um conjunto de dados com um total de ndiscreto pontos. Um cálculo importante, que na verdade é de vários números, é chamado de smomento. o sth momento do conjunto de dados com valores x1, x2, x3,..., xn é dada pela fórmula:
(x1s + x2s + x3s +... + xns)/n
O uso dessa fórmula exige que tenhamos cuidado com nossa ordem de operações. Precisamos fazer os expoentes primeiro, adicionar e depois dividir essa soma por n o número total de valores de dados.
Uma nota sobre o termo 'momento'
O termo momento foi retirado da física. Na física, o momento de um sistema de massas pontuais é calculado com uma fórmula idêntica à descrita acima, e essa fórmula é usada para encontrar o centro de massa dos pontos. Nas estatísticas, os valores não são mais massas, mas, como veremos, os momentos nas estatísticas ainda medem algo em relação ao centro dos valores.
Primeiro Momento
Para o primeiro momento, estabelecemos s = 1. A fórmula para o primeiro momento é assim:
(x1x2 + x3 +... + xn)/n
Isso é idêntico à fórmula da amostra significar.
O primeiro momento dos valores 1, 3, 6, 10 é (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5.
Segundo momento
Pelo segundo momento, estabelecemos s = 2. A fórmula para o segundo momento é:
(x12 + x22 + x32 +... + xn2)/n
O segundo momento dos valores 1, 3, 6, 10 é (12 + 32 + 62 + 102) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 146/4 = 36.5.
Terceiro momento
Pelo terceiro momento, estabelecemos s = 3. A fórmula para o terceiro momento é:
(x13 + x23 + x33 +... + xn3)/n
O terceiro momento dos valores 1, 3, 6, 10 é (13 + 33 + 63 + 103) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 1244/4 = 311.
Momentos mais altos podem ser calculados de maneira semelhante. Apenas substitua s na fórmula acima com o número que indica o momento desejado.
Momentos Sobre a Média
Uma ideia relacionada é a do sth momento sobre a média. Neste cálculo, realizamos as seguintes etapas:
- Primeiro, calcule a média dos valores.
- Em seguida, subtraia essa média de cada valor.
- Aumente cada uma dessas diferenças para o spoder th.
- Agora adicione os números da etapa 3 juntos.
- Por fim, divida essa soma pelo número de valores com os quais começamos.
A fórmula para o sth momento sobre a média m dos valores valores x1, x2, x3,..., xn É dado por:
ms = ((x1 - m)s + (x2 - m)s + (x3 - m)s +... + (xn - m)s)/n
Primeiro momento sobre a média
O primeiro momento sobre a média é sempre igual a zero, independentemente do conjunto de dados com o qual estamos trabalhando. Isso pode ser visto no seguinte:
m1 = ((x1 - m) + (x2 - m) + (x3 - m) +... + (xn - m))/n = ((x1+ x2 + x3 +... + xn) - nm)/n = m - m = 0.
Segundo momento sobre a média
O segundo momento sobre a média é obtido a partir da fórmula acima, definindos = 2:
m2 = ((x1 - m)2 + (x2 - m)2 + (x3 - m)2 +... + (xn - m)2)/n
Essa fórmula é equivalente à da variação da amostra.
Por exemplo, considere o conjunto 1, 3, 6, 10. Já calculamos a média desse conjunto como 5. Subtraia isso de cada um dos valores de dados para obter diferenças de:
- 1 – 5 = -4
- 3 – 5 = -2
- 6 – 5 = 1
- 10 – 5 = 5
Esquadramos cada um desses valores e os somamos: (-4)2 + (-2)2 + 12 + 52 = 16 + 4 + 1 + 25 = 46. Por fim, divida esse número pelo número de pontos de dados: 46/4 = 11,5
Aplicações dos momentos
Como mencionado acima, o primeiro momento é a média e o segundo momento sobre a média é a amostra variação. Karl Pearson introduziu o uso do terceiro momento sobre a média no cálculo assimetria e o quarto momento sobre a média no cálculo de curtose.