o Probabilidade Condicional de um evento é a probabilidade de um eventoUMA ocorre dado que outro evento B já ocorreu. Esse tipo de probabilidade é calculado restringindo-se o espaço amostral com os quais trabalhamos apenas para o conjunto B.
A fórmula da probabilidade condicional pode ser reescrita usando uma álgebra básica. Em vez da fórmula:
P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B),
multiplicamos ambos os lados por P (B) e obtenha a fórmula equivalente:
P (A | B) x P (B) = P (A ∩ B).
Podemos então usar esta fórmula para encontrar a probabilidade de que dois eventos ocorram usando a probabilidade condicional.
Uso da fórmula
Esta versão da fórmula é mais útil quando sabemos a probabilidade condicional de UMA dado B bem como a probabilidade do evento B. Se for esse o caso, podemos calcular a probabilidade do interseção do UMA dado B simplesmente multiplicando duas outras probabilidades. A probabilidade da interseção de dois eventos é um número importante porque é a probabilidade de os dois eventos ocorrerem.
Exemplos
Para o nosso primeiro exemplo, suponha que conheçamos os seguintes valores para probabilidades: P (A | B) = 0.8 e P (B) = 0,5. A probabilidade P (A ∩ B) = 0,8 x 0,5 = 0,4.
Embora o exemplo acima mostre como a fórmula funciona, ela pode não ser a mais esclarecedora sobre a utilidade da fórmula acima. Então, vamos considerar outro exemplo. Existe uma escola secundária com 400 alunos, dos quais 120 são do sexo masculino e 280 do sexo feminino. Dos homens, 60% estão atualmente matriculados em um curso de matemática. Das mulheres, 80% estão atualmente matriculadas em um curso de matemática. Qual é a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente ser uma mulher matriculada em um curso de matemática?
Aqui deixamos F denotar o evento “O aluno selecionado é uma mulher” e M o evento "O aluno selecionado está matriculado em um curso de matemática". Precisamos determinar a probabilidade da interseção desses dois eventos, ou P (M ∩ F).
A fórmula acima mostra-nos que P (M ∩ F) = P (M | F) x P (F). A probabilidade de uma fêmea ser selecionada é P (F) = 280/400 = 70%. A probabilidade condicional de que o aluno selecionado esteja matriculado em um curso de matemática, uma vez que uma fêmea foi selecionada é P (M | F) = 80%. Multiplicamos essas probabilidades e vemos que temos 80% x 70% = 56% de probabilidade de selecionar uma aluna que esteja matriculada em um curso de matemática.
Teste de Independência
A fórmula acima relacionando probabilidade condicional e probabilidade de interseção nos fornece uma maneira fácil de saber se estamos lidando com dois eventos independentes. Desde eventos UMA e B são independentes se P (A | B) = P (A), segue da fórmula acima que eventos UMA e B são independentes se e somente se:
P (A) x P (B) = P (A ∩ B)
Então, se sabemos que P (A) = 0.5, P (B) = 0,6 e P (A ∩ B) = 0,2, sem saber mais nada, podemos determinar que esses eventos não são independentes. Nós sabemos disso porque P (A) x P (B) = 0,5 x 0,6 = 0,3. Esta não é a probabilidade da interseção de UMA e B.