Vários teoremas em probabilidade podem ser deduzidos da axiomas de probabilidade. Esses teoremas podem ser aplicados para calcular probabilidades que desejamos conhecer. Um desses resultados é conhecido como regra do complemento. Esta afirmação nos permite calcular a probabilidade de um eventoUMA sabendo a probabilidade do complemento UMAC. Depois de declarar a regra do complemento, veremos como esse resultado pode ser provado.
A regra do complemento
O complemento do evento UMA é indicado por UMAC. O complemento de UMA é o conjunto de todos os elementos do conjunto universal, ou espaço amostral S, que não são elementos do conjunto UMA.
A regra do complemento é expressa pela seguinte equação:
P (UMAC) = 1 - P (UMA)
Aqui vemos que a probabilidade de um evento e a probabilidade de seu complemento devem somar 1.
Prova da regra do complemento
Para provar a regra do complemento, começamos com os axiomas da probabilidade. Essas declarações são assumidas sem prova. Veremos que eles podem ser usados sistematicamente para provar nossa afirmação sobre a probabilidade do complemento de um evento.
- O primeiro axioma da probabilidade é que a probabilidade de qualquer evento é não-negativa número real.
- O segundo axioma da probabilidade é que a probabilidade de todo o espaço amostral S é um. Simbolicamente, escrevemos P (S) = 1.
- O terceiro axioma da probabilidade afirma que se UMA e B são mutuamente exclusivos (o que significa que eles têm uma interseção vazia), então declaramos a probabilidade do união desses eventos como P (UMA você B ) = P (UMA) + P (B).
Para a regra do complemento, não precisaremos usar o primeiro axioma na lista acima.
Para provar nossa afirmação, consideramos os eventos UMAe UMAC. Da teoria dos conjuntos, sabemos que esses dois conjuntos têm interseção vazia. Isso ocorre porque um elemento não pode estar simultaneamente nos dois UMA e não em UMA. Como existe uma interseção vazia, esses dois conjuntos são mutuamente exclusivos.
A união dos dois eventos UMA e UMAC também são importantes. Estes constituem eventos exaustivos, significando que o União desses eventos é todo o espaço de amostra S.
Esses fatos, combinados com os axiomas, nos dão a equação
1 = P (S) = P (UMA você UMAC) = P (UMA) + P (UMAC) .
A primeira igualdade se deve ao segundo axioma de probabilidade. A segunda igualdade é porque os eventos UMA e UMAC são exaustivos. A terceira igualdade é por causa do terceiro axioma da probabilidade.
A equação acima pode ser reorganizada na forma que declaramos acima. Tudo o que devemos fazer é subtrair a probabilidade de UMA de ambos os lados da equação. portanto
1 = P (UMA) + P (UMAC)
torna-se a equação
P (UMAC) = 1 - P (UMA).
Obviamente, também poderíamos expressar a regra afirmando que:
P (UMA) = 1 - P (UMAC).
Todas essas três equações são maneiras equivalentes de dizer a mesma coisa. Vemos nesta prova como apenas dois axiomas e alguma teoria dos conjuntos percorrem um longo caminho para nos ajudar a provar novas afirmações sobre probabilidade.