Como usar a regra de complemento nas estatísticas

Nas estatísticas, a regra do complemento é um teorema que fornece uma conexão entre a probabilidade de um evento e a probabilidade do complemento do evento de tal maneira que, se conhecermos uma dessas probabilidades, conheceremos automaticamente a outra.

A regra do complemento é útil quando calculamos certas probabilidades. Muitas vezes, a probabilidade de um evento é confusa ou complicada de calcular, enquanto a probabilidade de seu complemento é muito mais simples.

Antes de vermos como a regra de complemento é usada, definiremos especificamente o que é essa regra. Começamos com um pouco de notação. O complemento do evento UMA, consistindo de todos os elementos no espaço amostralS que não são elementos do conjunto UMA, é indicado por UMAC.

A regra do complemento é declarada como "a soma da probabilidade de um evento e a probabilidade do seu complemento é igual a 1", conforme expresso pela seguinte equação:

P (UMA^C) = 1 - P (UMA)

O exemplo a seguir mostrará como usar a regra de complemento. Ficará evidente que esse teorema irá acelerar e simplificar os cálculos de probabilidade.

Suponha que você jogue oito moedas justas - qual é a probabilidade de mostrar pelo menos uma cabeça? Uma maneira de descobrir isso é calcular as seguintes probabilidades. O denominador de cada um é explicado pelo fato de existirem 2⁸ = 256 resultados, cada um deles igualmente provável. Todos os seguintes nos uma fórmula para combinações:

• A probabilidade de virar exatamente uma cabeça é C (8,1) / 256 = 8/256.
• A probabilidade de virar exatamente duas cabeças é C (8,2) / 256 = 28/256.
• A probabilidade de virar exatamente três cabeças é C (8,3) / 256 = 56/256.
• A probabilidade de virar exatamente quatro cabeças é C (8,4) / 256 = 70/256.
• A probabilidade de virar exatamente cinco cabeças é C (8,5) / 256 = 56/256.
• A probabilidade de virar exatamente seis cabeças é C (8,6) / 256 = 28/256.
• A probabilidade de virar exatamente sete cabeças é C (8,7) / 256 = 8/256.
• A probabilidade de virar exatamente oito cabeças é C (8,8) / 256 = 1/256.

Esses são mutuamente exclusivos eventos, então somamos as probabilidades usando um dos métodos apropriados regra de adição. Isso significa que a probabilidade de termos pelo menos uma cabeça é 255 em 256.

Agora calculamos a mesma probabilidade usando a regra do complemento. O complemento do evento "Viramos pelo menos uma cabeça" é o evento "Não há cabeças". Existe uma maneira de isso ocorrer, fornecendo a probabilidade de 1/256. Usamos a regra do complemento e descobrimos que nossa probabilidade desejada é de um menos um em 256, que é igual a 255 em 256.

Este exemplo demonstra não apenas a utilidade, mas também o poder da regra do complemento. Embora não haja nada errado com nosso cálculo original, ele foi bastante envolvido e exigiu várias etapas. Por outro lado, quando usamos a regra do complemento para esse problema, não havia tantas etapas em que os cálculos poderiam dar errado.