Compreendendo equações equivalentes em álgebra

Equações equivalentes são sistemas de equações que têm as mesmas soluções. Identificar e resolver equações equivalentes é uma habilidade valiosa, não apenas em aula de álgebra mas também na vida cotidiana. Veja exemplos de equações equivalentes, como resolvê-las para uma ou mais variáveis ​​e como você pode usar essa habilidade fora da sala de aula.

Principais Takeaways

Os exemplos mais simples de equações equivalentes não possuem variáveis. Por exemplo, essas três equações são equivalentes entre si:

• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5
• 5 + 0 = 5

Reconhecer essas equações é equivalente é ótimo, mas não é particularmente útil. Geralmente, um problema de equação equivalente pede que você resolva uma variável para ver se é a mesma (a mesma

Por exemplo, as seguintes equações são equivalentes:

• x = 5
• -2x = -10

Nos dois casos, x = 5. Como nós sabemos disso? Como você resolve isso para a equação "-2x = -10"? O primeiro passo é conhecer as regras das equações equivalentes:

• Adicionando ou subtrair o mesmo número ou expressão para ambos os lados de uma equação produz uma equação equivalente.
• Multiplicar ou dividir os dois lados de uma equação pelo mesmo número diferente de zero produz uma equação equivalente.
• Elevando ambos os lados da equação para o mesmo poder estranho ou tomar a mesma raiz ímpar produzirá uma equação equivalente.
• Se ambos os lados de uma equação não sãonegativo, elevar os dois lados de uma equação para a mesma potência par ou criar a mesma raiz par dará uma equação equivalente.

Colocando essas regras em prática, determine se essas duas equações são equivalentes:

• x + 2 = 7
• 2x + 1 = 11

Para resolver isso, você precisa encontrar "x" para cada equação. Se "x" é o mesmo para ambas as equações, elas são equivalentes. Se "x" for diferente (ou seja, as equações tiverem raízes diferentes), as equações não serão equivalentes. Para a primeira equação:

• x + 2 = 7
• x + 2 - 2 = 7 - 2 (subtraindo ambos os lados pelo mesmo número)
• x = 5

Para a segunda equação:

• 2x + 1 = 11
• 2x + 1-1 = 11-1 (subtraindo ambos os lados pelo mesmo número)
• 2x = 10
• 2x / 2 = 10/2 (dividindo os dois lados da equação pelo mesmo número)
• x = 5

Então, sim, as duas equações são equivalentes porque x = 5 em cada caso.

Você pode usar equações equivalentes na vida diária. É particularmente útil ao fazer compras. Por exemplo, você gosta de uma camisa específica. Uma empresa oferece a camisa por US $ 6 e tem frete de US $ 12, enquanto outra empresa oferece a camisa por US $ 7,50 e tem frete de US $ 9. Qual camisa tem o melhor preço? Quantas camisas (talvez você queira comprá-las para amigos) precisariam comprar pelo preço igual para as duas empresas?

Para resolver esse problema, seja "x" o número de camisas. Para começar, defina x = 1 para a compra de uma camisa. Para empresa 1:

• Preço = 6x + 12 = (6) (1) + 12 = 6 + 12 = $ 18

Para a empresa # 2:

• Preço = 7,5x + 9 = (1) (7,5) + 9 = 7,5 + 9 = R $ 16,50

Então, se você está comprando uma camisa, a segunda empresa oferece um acordo melhor.

Para encontrar o ponto em que os preços são iguais, deixe "x" permanecer o número de camisas, mas defina as duas equações iguais uma à outra. Resolva para "x" para descobrir quantas camisas você teria que comprar:

• 6x + 12 = 7,5x + 9
• 6x - 7,5x = 9 - 12 (subtraindo os mesmos números ou expressões de cada lado)
• -1,5x = -3
• 1,5x = 3 (dividindo os dois lados pelo mesmo número, -1)
• x = 3 / 1,5 (dividindo os dois lados por 1,5)
• x = 2

Se você compra duas camisas, o preço é o mesmo, não importa onde você o obtenha. Você pode usar a mesma matemática para determinar qual empresa oferece um acordo melhor com pedidos maiores e também para calcular quanto economizará usando uma empresa em detrimento da outra. Veja, álgebra é útil!

Se você tiver duas equações e duas incógnitas (x e y), poderá determinar se dois conjuntos de equações lineares são equivalentes.

Por exemplo, se você receber as equações:

• -3x + 12y = 15
• 7x - 10y = -2

Você pode determinar se o seguinte sistema é equivalente:

• -x + 4y = 5
• 7x -10y = -2

Para Resolva esse problema, encontre "x" e "y" para cada sistema de equações. Se os valores forem iguais, os sistemas de equações são equivalentes.

Comece com o primeiro conjunto. Para resolver dois equações com dois variáveis, isole uma variável e conecte sua solução à outra equação. Para isolar a variável "y":

• -3x + 12y = 15
• -3x = 15 - 12y
• x = - (15 - 12y) / 3 = -5 + 4y (insira "x" na segunda equação)
• 7x - 10y = -2
• 7 (-5 + 4y) - 10y = -2
• Matemática5 pontos
• 18y = 33
• y = 33/18 = 11/6

Agora, conecte "y" novamente em uma das equações para resolver o "x":

• 7x - 10y = -2
• 7x = -2 + 10 (11/6)

Trabalhando com isso, você obterá x = 7/3.

Para responder à pergunta, você poderia aplique os mesmos princípios ao segundo conjunto de equações para resolver "x" e "y" para descobrir que sim, eles são realmente equivalentes. É fácil ficar atolado na álgebra, por isso é uma boa ideia verificar seu trabalho usando um solucionador de equações online.

No entanto, o aluno inteligente notará que os dois conjuntos de equações são equivalentes sem fazer nenhum cálculo difícil. A única diferença entre a primeira equação em cada conjunto é que a primeira é três vezes a segunda (equivalente). A segunda equação é exatamente a mesma.