Um exemplo direto de condicional probabilidade é a probabilidade de que uma carta retirada de um baralho de cartas padrão seja um rei. Há um total de quatro reis em 52 cartas, e portanto a probabilidade é simplesmente 4/52. Relacionada a esse cálculo, está a seguinte pergunta: "Qual é a probabilidade de desenharmos um rei, dado que já tiramos uma carta do baralho e é um ás? "Aqui consideramos o conteúdo do baralho de cartões. Ainda existem quatro reis, mas agora existem apenas 51 cartas no baralho. A probabilidade de sacar um rei, dado que um ás já foi sorteado, é 4/51.
Probabilidade Condicional é definido como a probabilidade de um evento, pois outro evento ocorreu. Se nomearmos esses eventos UMA e B, então podemos falar sobre a probabilidade de UMA dado B. Poderíamos também nos referir à probabilidade de UMA dependente de B.
Notação
A notação para probabilidade condicional varia de livro para livro. Em todas as notações, a indicação é que a probabilidade a que nos referimos depende de outro evento. Uma das notações mais comuns para a probabilidade de
UMA dado B é P (A | B). Outra notação usada é PB( UMA ).Fórmula
Existe uma fórmula para probabilidade condicional que conecta isso à probabilidade de UMA e B:
P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B)
Essencialmente, o que esta fórmula está dizendo é que, para calcular a probabilidade condicional do evento UMA dado o evento B, alteramos nosso espaço de amostra para consistir apenas no conjunto B. Ao fazer isso, não consideramos todo o evento UMA, mas apenas a parte de UMA que também está contido em B. O conjunto que acabamos de descrever pode ser identificado em termos mais familiares como o interseção do UMA e B.
Podemos usar álgebra para expressar a fórmula acima de uma maneira diferente:
P (A ∩ B) = P (A | B) P (B)
Exemplo
Vamos revisitar o exemplo que começamos à luz dessas informações. Queremos saber a probabilidade de atrair um rei, já que um ás já foi sorteado. Assim o evento UMA é que nós desenhamos um rei. Evento B é que nós desenhamos um ás.
A probabilidade de ambos os eventos acontecerem e nós empatamos um ás e depois um rei corresponde a P (A ∩ B). O valor dessa probabilidade é 12/2652. A probabilidade de evento B, que empatamos um ás é 4/52. Assim, usamos a fórmula de probabilidade condicional e vemos que a probabilidade de desenhar um rei dado que um ás foi sorteado é (16/2652) / (4/52) = 4/51.
Outro exemplo
Para outro exemplo, veremos o experimento de probabilidade em que rolar dois dados. Uma pergunta que poderíamos fazer é: "Qual é a probabilidade de obtermos três, dado que temos uma soma menor que seis?"
Aqui o evento UMA é que rolamos três, e o evento B é que rolamos uma soma menor que seis. Existem 36 maneiras de jogar dois dados. Dessas 36 maneiras, podemos rolar uma soma menor que seis de dez maneiras:
- 1 + 1 = 2
- 1 + 2 = 3
- 1 + 3 = 4
- 1 + 4 = 5
- 2 + 1 = 3
- 2 + 2 = 4
- 2 + 3 = 5
- 3 + 1 = 4
- 3 + 2 = 5
- 4 + 1 = 5
Eventos Independentes
Existem alguns casos em que a probabilidade condicional de UMA dado o evento B é igual à probabilidade de UMA. Nesta situação, dizemos que os eventos UMA e B são independentes um do outro. A fórmula acima se torna:
P (A | B) = P (A) = P (A ∩ B) / P (B),
e recuperamos a fórmula de que, para eventos independentes, a probabilidade de ambos UMA e B é encontrado multiplicando as probabilidades de cada um desses eventos:
P (A ∩ B) = P (B) P (A)
Quando dois eventos são independentes, isso significa que um evento não tem efeito no outro. Jogar uma moeda e depois outra é um exemplo de eventos independentes. Um lançamento de moeda não tem efeito no outro.
Precauções
Tenha muito cuidado para identificar qual evento depende do outro. Em geral P (A | B) não é igual a P (B | A). Essa é a probabilidade de UMA dado o evento B não é o mesmo que a probabilidade de B dado o evento UMA.
No exemplo acima, vimos que, ao rolar dois dados, a probabilidade de rolar um três, dado que rolarmos uma soma menor que seis, era 4/10. Por outro lado, qual é a probabilidade de rolar uma soma menor que seis, dado que rolamos uma três? A probabilidade de rolar um três e uma soma menor que seis é 4/36. A probabilidade de rolar pelo menos um três é 11/36. Portanto, a probabilidade condicional neste caso é (4/36) / (11/36) = 4/11.