Qual é o paradoxo de São Petersburgo?

Você está nas ruas de São Petersburgo, na Rússia, e um velho propõe o seguinte jogo. Ele joga uma moeda (e empresta uma das suas se você não confiar que a dele é justa). Se cair coroa, você perde e o jogo acaba. Se a moeda cair, você ganha um rublo e o jogo continua. A moeda é lançada novamente. Se for coroa, então o jogo termina. Se for cara, você ganha mais dois rublos. O jogo continua desta maneira. Para cada cabeça sucessiva, dobramos nossos ganhos da rodada anterior, mas ao sinal da primeira cauda, ​​o jogo está terminado.

Quanto você pagaria para jogar este jogo? Quando consideramos o valor esperado Neste jogo, você deve ter a chance, não importa qual o custo. No entanto, pela descrição acima, você provavelmente não estaria disposto a pagar muito. Afinal, existe uma probabilidade de 50% de não ganhar nada. É o que chamamos de Paradoxo de São Petersburgo, nomeado devido à publicação de Daniel Bernoulli em 1738 Comentários da Academia Imperial de Ciências de São Petersburgo.

Vamos começar calculando probabilidades associado a este jogo. A probabilidade de uma moeda justa cair é de 1/2. Cada sorteio é um evento independente e, portanto, multiplicamos as probabilidades possivelmente com o uso de um diagrama de árvore.

• A probabilidade de duas cabeças seguidas é (1/2)) x (1/2) = 1/4.
• A probabilidade de três cabeças seguidas é (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8.
• Expressar a probabilidade de n cabeças seguidas, onde n é um número inteiro positivo, usamos expoentes para escrever 1/2ⁿ.

Agora vamos seguir em frente e ver se podemos generalizar quais seriam os ganhos em cada rodada.

• Se você tem cabeça no primeiro turno, ganha um rublo por esse turno.
• Se houver uma cabeça na segunda rodada, você ganha dois rublos nessa rodada.
• Se houver uma cabeça na terceira rodada, você ganhará quatro rublos nessa rodada.
• Se você teve a sorte de fazer todo o caminho até o n^º rodada, então você vai ganhar 2^n-1 rublos nessa rodada.

O valor esperado de um jogo nos diz qual seria a média dos ganhos se você jogasse o jogo muitas e muitas vezes. Para calcular o valor esperado, multiplicamos o valor dos ganhos de cada rodada com a probabilidade de chegar a essa rodada e, em seguida, adicionamos todos esses produtos.

• Desde a primeira rodada, você tem probabilidade 1/2 e ganhos de 1 rublo: 1/2 x 1 = 1/2
• Na segunda rodada, você tem probabilidade de 1/4 e ganhos de 2 rublos: 1/4 x 2 = 1/2
• Desde a primeira rodada, você tem probabilidade de 1/8 e ganhos de 4 rublos: 1/8 x 4 = 1/2
• Desde a primeira rodada, você tem probabilidade 1/16 e ganhos de 8 rublos: 1/16 x 8 = 1/2
• Desde a primeira rodada, você tem probabilidade 1/2ⁿ e ganhos de 2^n-1 rublos: 1/2ⁿ x 2^n-1 = 1/2

O valor de cada rodada é 1/2 e adicionando os resultados da primeira n rodadas juntas nos dá um valor esperado de n/ 2 rublos. Desde a n pode ser qualquer número inteiro positivo, o valor esperado é ilimitado.

Então, o que você deve pagar para jogar? Um rublo, mil rublos ou até um bilhão todos os rublos seriam, a longo prazo, inferiores ao valor esperado. Apesar do cálculo acima prometer riquezas incalculáveis, todos nós ainda relutamos em pagar muito para jogar.

Existem inúmeras maneiras de resolver o paradoxo. Uma das maneiras mais simples é que ninguém ofereceria um jogo como o descrito acima. Ninguém tem os infinitos recursos que seriam necessários para pagar alguém que continuava a virar a cabeça.

Outra maneira de resolver o paradoxo envolve apontar o quão improvável é obter algo como 20 cabeças seguidas. o probabilidades deste acontecimento são melhores do que ganhar a maioria dos estados loterias. As pessoas costumam jogar nessas loterias por cinco dólares ou menos. Portanto, o preço do jogo em São Petersburgo provavelmente não deve exceder alguns dólares.

Se o homem em São Petersburgo diz que vai custar nada mais do que alguns rublos para jogar seu jogo, você deve recusar educadamente e ir embora. De qualquer forma, os rublos não valem muito.