Chuck-a-Luck é um jogo de azar. Três dados são enrolados, às vezes em uma armação de arame. Devido a esse quadro, este jogo também é chamado de gaiola. Este jogo é visto com mais frequência em carnavais do que em cassinos. No entanto, devido ao uso de dados aleatórios, podemos usar a probabilidade para analisar este jogo. Mais especificamente, podemos calcular o valor esperado deste jogo.
Apostas
Existem vários tipos de apostas em que é possível apostar. Consideraremos apenas a aposta de número único. Nesta aposta, simplesmente escolhemos um número específico de um a seis. Então nós jogamos os dados. Considere as possibilidades. Todos os dados, dois deles, um deles ou nenhum, poderiam mostrar o número que escolhemos.
Suponha que este jogo pague o seguinte:
- $ 3 se todos os três dados corresponderem ao número escolhido.
- $ 2 se exatamente dois dados corresponderem ao número escolhido.
- $ 1 se exatamente um dos dados corresponder ao número escolhido.
Se nenhum dado corresponder ao número escolhido, devemos pagar $ 1.
Qual é o valor esperado deste jogo? Em outras palavras, a longo prazo, em média, quanto esperaríamos ganhar ou perder se jogássemos esse jogo repetidamente?
Probabilidades
Para encontrar o valor esperado deste jogo, precisamos determinar quatro probabilidades. Essas probabilidades correspondem aos quatro resultados possíveis. Observamos que cada dado é independente dos outros. Devido a essa independência, usamos a regra de multiplicação. Isso nos ajudará a determinar o número de resultados.
Também assumimos que os dados são justos. É provável que cada um dos seis lados de cada um dos três dados seja lançado.
Existem 6 x 6 x 6 = 216 resultados possíveis ao jogar esses três dados. Este número será o denominador para todas as nossas probabilidades.
Há uma maneira de combinar todos os três dados com o número escolhido.
Existem cinco maneiras de um único dado não corresponder ao número escolhido. Isso significa que existem 5 x 5 x 5 = 125 maneiras para nenhum dos nossos dados corresponder ao número que foi escolhido.
Se considerarmos exatamente dois dados correspondentes, temos um dado que não corresponde.
- Existem 1 x 1 x 5 = 5 maneiras para os dois primeiros dados corresponderem ao nosso número e o terceiro ser diferente.
- Existem 1 x 5 x 1 = 5 maneiras para o primeiro e o terceiro dados coincidirem, sendo o segundo diferente.
- Existem 5 x 1 x 1 = 5 maneiras para o primeiro dado ser diferente e para o segundo e o terceiro corresponderem.
Isso significa que há um total de 15 maneiras para exatamente dois dados corresponderem.
Agora calculamos o número de maneiras de obter todos, exceto um de nossos resultados. Existem 216 rolos possíveis. Nós respondemos por 1 + 15 + 125 = 141 deles. Isso significa que existem 216 -141 = 75 restantes.
Coletamos todas as informações acima e vemos:
- A probabilidade de nosso número corresponder aos três dados é 1/216.
- A probabilidade de nosso número corresponder exatamente a dois dados é 15/216.
- A probabilidade de nosso número corresponder exatamente a um dado é 75/216.
- A probabilidade de nosso número não corresponder a nenhum dado é 125/216.
Valor esperado
Agora estamos prontos para calcular o valor esperado desta situação. o fórmula para o valor esperado exige que multipliquemos a probabilidade de cada evento pelo ganho ou perda líquida, se o evento ocorrer. Em seguida, adicionamos todos esses produtos.
O cálculo do valor esperado é o seguinte:
(3)(1/216) + (2)(15/216) +(1)(75/216) +(-1)(125/216) = 3/216 +30/216 +75/216 -125/216 = -17/216
Isso é aproximadamente - $ 0,08. A interpretação é que, se jogássemos esse jogo repetidamente, em média, perderíamos 8 centavos de dólar cada vez que jogássemos.