Definição e Uso da União em Matemática

Uma operação que é freqüentemente usada para formar novos conjuntos a partir dos antigos é chamada de união. No uso comum, a palavra união significa uma união, como sindicatos no trabalho organizado ou a Estado da União endereço que os EUA Presidente faz antes de uma sessão conjunta do Congresso. No sentido matemático, a união de dois conjuntos mantém essa ideia de reunir. Mais precisamente, a união de dois conjuntos UMA e B é o conjunto de todos os elementos x de tal modo que x é um elemento do conjunto UMA ou x é um elemento do conjunto B. A palavra que significa que estamos usando uma união é a palavra "ou".

Quando usamos a palavra "ou" nas conversas do dia-a-dia, podemos não perceber que essa palavra está sendo usada de duas maneiras diferentes. O caminho geralmente é inferido a partir do contexto da conversa. Se lhe perguntassem "Gostaria do frango ou do bife?" a implicação usual é que você pode ter um ou outro, mas não os dois. Compare isso com a pergunta: "Gostaria de manteiga ou creme de leite em sua batata cozida?" Aqui "ou" é usado no sentido inclusivo em que você pode escolher apenas manteiga, creme de leite ou manteiga e creme de leite creme.

Em matemática, a palavra "ou" é usada no sentido inclusivo. Então a afirmação "x é um elemento de UMA ou um elemento de B"significa que um dos três é possível:

• x é um elemento de apenas UMA e não um elemento de B
• x é um elemento de apenas B e não um elemento de UMA.
• x é um elemento de ambos UMA e B. (Também poderíamos dizer que x é um elemento da interseção de UMA e B

Para um exemplo de como a união de dois conjuntos forma um novo conjunto, vamos considerar os conjuntos UMA = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Para encontrar a união desses dois conjuntos, simplesmente listamos todos os elementos que vemos, tomando cuidado para não duplicar nenhum elemento. Os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 estão em um conjunto ou no outro, portanto, a união de UMA e B é {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Além de entender os conceitos relativos às operações da teoria dos conjuntos, é importante poder ler os símbolos usados ​​para denotar essas operações. O símbolo usado para a união dos dois conjuntos UMA e B É dado por UMA ∪ B. Uma maneira de lembrar o símbolo ∪ refere-se à união é observar sua semelhança com um capital U, que é abreviação da palavra "união". Tenha cuidado, porque o símbolo para união é muito semelhante ao símbolo para interseção. Um é obtido do outro por um giro vertical.

Para ver esta notação em ação, consulte o exemplo acima. Aqui nós tivemos os sets UMA = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Então escreveríamos a equação definida UMA ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }.

Uma identidade básica que envolve a união nos mostra o que acontece quando adotamos a união de qualquer conjunto com o conjunto vazio, indicado pelo número 8709. O conjunto vazio é o conjunto sem elementos. Portanto, associá-lo a qualquer outro conjunto não terá efeito. Em outras palavras, a união de qualquer conjunto com o conjunto vazio nos dará o conjunto original de volta

Essa identidade se torna ainda mais compacta com o uso de nossa notação. Nós temos a identidade: UMA ∪ ∅ = UMA.

No outro extremo, o que acontece quando examinamos o união de um conjunto com o conjunto universal? Como o conjunto universal contém todos os elementos, não podemos adicionar mais nada a isso. Portanto, a união ou qualquer conjunto com o conjunto universal é o conjunto universal.

Novamente, nossa notação nos ajuda a expressar essa identidade em um formato mais compacto. Para qualquer conjunto UMA e o conjunto universal você, UMA ∪ você = você.

Existem muitas outras identidades definidas que envolvem o uso da operação de união. Claro, é sempre bom prática usando a linguagem da teoria dos conjuntos. Alguns dos mais importantes são mencionados abaixo. Para todos os conjuntos UMAe B e D temos:

• Propriedade reflexiva: UMA ∪ UMA =UMA
• Propriedade comutativa: UMA ∪ B = B ∪ UMA
• Propriedade associativa: (UMA ∪ B) ∪ D =UMA ∪ (B ∪ D)
• Lei de DeMorgan I: (UMA ∩ B)^C = UMA^C ∪ B^C
• Lei II de DeMorgan: (UMA ∪ B)^C = UMA^C ∩ B^C