A probabilidade de rolar uma casa cheia em Yahtzee?

O jogo de Yahtzee envolve o uso de cinco dados padrão. Em cada turno, os jogadores recebem três jogadas. Após cada jogada, qualquer número de dados pode ser mantido com o objetivo de obter combinações particulares desses dados. Cada tipo diferente de combinação vale uma quantidade diferente de pontos.

Um desses tipos de combinações é chamado de casa cheia. Como uma casa cheia no jogo de pôquer, essa combinação inclui três de um certo número junto com um par de um número diferente. Como o Yahtzee envolve a rolagem aleatória dos dados, este jogo pode ser analisado usando a probabilidade para determinar a probabilidade de rolar uma casa completa em um único lançamento.

Começaremos declarando nossas suposições. Assumimos que os dados utilizados são justos e independentes um do outro. Isso significa que temos um espaço de amostra uniforme que consiste em todos os possíveis lançamentos dos cinco dados. Embora o jogo de Yahtzee permita três jogadas, consideraremos apenas o caso de obtermos um full house em uma única jogada.

Como estamos trabalhando com um uniformeespaço amostral, o cálculo de nossa probabilidade se torna um cálculo de alguns problemas de contagem. A probabilidade de uma casa cheia é o número de maneiras de rolar uma casa cheia, dividido pelo número de resultados no espaço da amostra.

O número de resultados no espaço da amostra é direto. Como existem cinco dados e cada um desses dados pode ter um de seis resultados diferentes, o número de resultados no espaço amostral é 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776.

Em seguida, calculamos o número de maneiras de rolar uma casa cheia. Este é um problema mais difícil. Para ter um full house, precisamos de três de um tipo de dados, seguidos por um par de um tipo diferente de dados. Dividiremos esse problema em duas partes:

• Qual é o número de tipos diferentes de casas completas que podem ser instaladas?
• Qual é o número de maneiras pelas quais um tipo específico de casa cheia pode ser implementado?

Uma vez que sabemos o número de cada uma delas, podemos multiplicá-las para fornecer o número total de casas completas que podem ser roladas.

Começamos analisando o número de tipos diferentes de casas cheias que podem ser enroladas. Qualquer um dos números 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 pode ser usado para os três tipos. Existem cinco números restantes para o par. Portanto, existem 6 x 5 = 30 tipos diferentes de combinações de casas completas que podem ser roladas.

Por exemplo, poderíamos ter 5, 5, 5, 2, 2 como um tipo de casa cheia. Outro tipo de casa cheia seria 4, 4, 4, 1, 1. Outra ainda seria 1, 1, 4, 4, 4, que é diferente da casa cheia anterior, porque os papéis dos quatro e dos outros foram trocados.

Agora, determinamos o número diferente de maneiras de obter uma casa cheia específica. Por exemplo, cada um dos itens a seguir fornece a mesma casa cheia de três quatros e dois:

• 4, 4, 4, 1, 1
• 4, 1, 4, 1, 4
• 1, 1, 4, 4, 4
• 1, 4, 4, 4, 1
• 4, 1, 4, 4, 1

Vemos que há pelo menos cinco maneiras de fazer uma casa cheia em particular. Existem outros? Mesmo se continuarmos listando outras possibilidades, como sabemos que encontramos todas elas?

A chave para responder a essas perguntas é perceber que estamos lidando com um problema de contagem e determinar com que tipo de problema de contagem estamos trabalhando. Existem cinco posições, e três delas devem ser preenchidas com quatro. A ordem em que colocamos nossos quatro não importa, desde que as posições exatas sejam preenchidas. Uma vez determinada a posição dos quatro, a colocação dos quatro é automática. Por esses motivos, precisamos considerar o combinação de cinco posições tomadas três de cada vez.

Usamos a fórmula de combinação para obter C(5, 3) = 5! / (3! 2!) = (5 x 4) / 2 = 10. Isso significa que existem 10 maneiras diferentes de rolar uma casa cheia.

Juntando tudo isso, temos nosso número de casas cheias. Existem 10 x 30 = 300 maneiras de obter uma casa cheia em um rolo.

Agora o probabilidade de uma casa cheia é um cálculo de divisão simples. Como existem 300 maneiras de rolar uma casa cheia em um único jogo e existem 7776 jogadas de cinco dados possíveis, a probabilidade de rolar uma casa cheia é 300/7776, o que é próximo de 1/26 e 3,85%. Isso é 50 vezes mais provável do que rolar um Yahtzee em um único rolo.

Obviamente, é muito provável que o primeiro rolo não seja uma casa cheia. Se for esse o caso, temos mais duas jogadas, o que torna muito mais provável uma casa cheia. A probabilidade disso é muito mais complicada de determinar devido a todas as situações possíveis que precisariam ser consideradas.