A variação de uma distribuição de uma variável aleatória é uma característica importante. Esse número indica a propagação de uma distribuição e é encontrado ao quadrado do desvio padrão. Um discreto comumente usado distribuição é o da distribuição de Poisson. Veremos como calcular a variação da distribuição de Poisson com o parâmetro λ.
A distribuição de Poisson
As distribuições de Poisson são usadas quando temos um continuum de algum tipo e estamos contando alterações discretas nesse continuum. Isso ocorre quando consideramos o número de pessoas que chegam a um balcão de cinema no decorrer de uma hora, acompanhando o número de carros que viajam através de um cruzamento com uma parada de quatro direções ou contam o número de falhas que ocorrem em um comprimento de fio.
Se fizermos algumas suposições esclarecedoras nesses cenários, essas situações corresponderão às condições para um processo de Poisson. Dizemos então que a variável aleatória, que conta o número de alterações, tem uma distribuição de Poisson.
A distribuição de Poisson na verdade se refere a uma família infinita de distribuições. Essas distribuições vêm equipadas com um único parâmetro λ. O parâmetro é positivo número real isso está intimamente relacionado ao número esperado de mudanças observadas no continuum. Além disso, veremos que esse parâmetro é igual não apenas ao significar da distribuição, mas também a variação da distribuição.
A função massa de probabilidade para uma distribuição de Poisson é dada por:
f(x) = (λxe-λ)/x!
Nesta expressão, a letra e é um número e é a constante matemática com um valor aproximadamente igual a 2,718281828. A variável x pode ser qualquer número inteiro não negativo.
Cálculo da variação
Para calcular a média de uma distribuição de Poisson, usamos essa distribuição função geradora de momento. Nós vemos que:
M( t ) = E [etX] = Σ etXf( x) = ΣetX λxe-λ)/x!
Recordamos agora a série Maclaurin para evocê. Como qualquer derivada da função evocê é evocê, todos esses derivados avaliados em zero nos dão 1. O resultado é a série evocê = Σ vocên/n!.
Pelo uso da série Maclaurin para evocê, podemos expressar a função geradora de momento não como uma série, mas de forma fechada. Combinamos todos os termos com o expoente de x. portanto M(t) = eλ(et - 1).
Agora encontramos a variância tomando a segunda derivada de M e avaliando isso em zero. Desde a M’(t) =λetM(t), usamos a regra do produto para calcular a segunda derivada:
M’’(t)=λ2e2tM’(t) + λetM(t)
Avaliamos isso em zero e descobrimos que M’’(0) = λ2 + λ. Em seguida, usamos o fato de que M’(0) = λ para calcular a variação.
Var (X) = λ2 + λ – (λ)2 = λ.
Isso mostra que o parâmetro λ não é apenas a média da distribuição de Poisson, mas também sua variância.