Exemplos de intervalos de confiança para médias

Uma das principais partes da estatística inferencial é o desenvolvimento de maneiras de calcular intervalos de confiança. Intervalos de confiança nos fornecem uma maneira de estimar uma população parâmetro. Em vez de dizer que o parâmetro é igual a um valor exato, dizemos que o parâmetro está dentro de um intervalo de valores. Esse intervalo de valores geralmente é uma estimativa, juntamente com uma margem de erro que adicionamos e subtraímos da estimativa.

Anexado a cada intervalo está um nível de confiança. O nível de confiança mede com que frequência, a longo prazo, o método usado para obter nosso intervalo de confiança captura o verdadeiro parâmetro populacional.

Ao aprender sobre estatística, é útil ver alguns exemplos elaborados. Abaixo, veremos vários exemplos de intervalos de confiança sobre uma média da população. Veremos que o método que usamos para construir um intervalo de confiança sobre uma média depende de mais informações sobre nossa população. Especificamente, a abordagem que adotamos depende de sabermos ou não o desvio padrão da população.

Começamos com uma amostra aleatória simples de 25 espécies particulares de tritões e medimos suas caudas. O comprimento médio da cauda da nossa amostra é de 5 cm.

1. Se sabemos que 0,2 cm é o desvio padrão do comprimento da cauda de todos os tritões na população, qual é o intervalo de confiança de 90% para o comprimento médio da cauda de todos os tritões na população?
2. Se sabemos que 0,2 cm é o desvio padrão do comprimento da cauda de todos os tritões na população, qual é o intervalo de confiança de 95% para o comprimento médio da cauda de todos os tritões na população?
3. Se acharmos que 0,2 cm é o desvio padrão dos comprimentos de cauda dos tritões em nossa amostra, população, então qual é um intervalo de confiança de 90% para o comprimento médio da cauda de todos os tritões no população?
4. Se acharmos que 0,2 cm é o desvio padrão dos comprimentos de cauda dos tritões em nossa amostra, população, então qual é um intervalo de confiança de 95% para o comprimento médio da cauda de todos os tritões no população?

Começamos analisando cada um desses problemas. Nos dois primeiros problemas, conhecer o valor do desvio padrão da população. A diferença entre esses dois problemas é que o nível de confiança é maior no número 2 do que no número 1.

Nos dois segundos problemas o desvio padrão da população é desconhecido. Para esses dois problemas, estimaremos esse parâmetro com a amostra desvio padrão. Como vimos nos dois primeiros problemas, aqui também temos diferentes níveis de confiança.

Vamos calcular soluções para cada um dos problemas acima.

1. Como sabemos o desvio padrão da população, usaremos uma tabela de z-scores. O valor de z que corresponde a um intervalo de confiança de 90% é 1.645. Usando o fórmula para a margem de erro temos um intervalo de confiança de 5 - 1,645 (0,2 / 5) a 5 + 1,645 (0,2 / 5). (O 5 no denominador aqui é porque assumimos a raiz quadrada de 25). Após a realização da aritmética, temos 4.934 cm a 5.066 cm como intervalo de confiança para a média da população.
2. Como sabemos o desvio padrão da população, usaremos uma tabela de z-scores. O valor de z que corresponde a um intervalo de confiança de 95% é 1,96. Usando a fórmula da margem de erro, temos um intervalo de confiança de 5 - 1,96 (0,2 / 5) a 5 + 1,96 (0,2 / 5). Após a realização da aritmética, temos 4.922 cm a 5.078 cm como intervalo de confiança para a média da população.
3. Aqui não sabemos o desvio padrão da população, apenas o desvio padrão da amostra. Assim, usaremos uma tabela de t-scores. Quando usamos uma tabela de t pontuações, precisamos saber quantos graus de liberdade temos. Nesse caso, existem 24 graus de liberdade, um a menos que o tamanho da amostra de 25. O valor de t que corresponde a um intervalo de confiança de 90% é 1,71. Usando a fórmula da margem de erro, temos um intervalo de confiança de 5 - 1,71 (0,2 / 5) a 5 + 1,71 (0,2 / 5). Após a realização da aritmética, temos 4.932 cm a 5.068 cm como intervalo de confiança para a média da população.
4. Aqui não sabemos o desvio padrão da população, apenas o desvio padrão da amostra. Assim, usaremos novamente uma tabela de t-scores. Existem 24 graus de liberdade, um a menos que o tamanho da amostra de 25. O valor de t que corresponde a um intervalo de confiança de 95% é 2,06. Usando a fórmula da margem de erro, temos um intervalo de confiança de 5 - 2,06 (0,2 / 5) a 5 + 2,06 (0,2 / 5). Após a realização da aritmética, temos 4.912 cm a 5.082 cm como intervalo de confiança para a média da população.

Há algumas coisas a serem observadas na comparação dessas soluções. A primeira é que, em cada caso, à medida que nosso nível de confiança aumenta, maior o valor de z ou t com que acabamos. A razão para isso é que, para estarmos mais confiantes de que realmente capturamos a média da população em nosso intervalo de confiança, precisamos de um intervalo maior.

O outro recurso a ser observado é que, para um intervalo de confiança específico, aqueles que usam t são mais largos do que aqueles com z. A razão para isso é que um t distribuição tem maior variabilidade em suas caudas do que uma distribuição normal padrão.

A chave para corrigir soluções para esses tipos de problemas é que, se soubermos o desvio padrão da população, usaremos uma tabela de z-cores. Se não sabemos o desvio padrão da população, usamos uma tabela de t pontuações.