Uma distribuição de uma variável aleatória é importante não para suas aplicações, mas para o que ela nos diz sobre nossas definições. A distribuição de Cauchy é um exemplo, às vezes chamado de exemplo patológico. A razão para isso é que, embora essa distribuição esteja bem definida e tenha uma conexão com um fenômeno físico, a distribuição não tem média ou variação. De fato, essa variável aleatória não possui um função geradora de momento.
Definição da Distribuição Cauchy
Definimos a distribuição de Cauchy considerando um spinner, como o tipo de um jogo de tabuleiro. O centro deste botão giratório estará ancorado no y eixo no ponto (0, 1). Depois de girar o botão giratório, estenderemos o segmento de linha do botão giratório até cruzar o eixo x. Isso será definido como nossa variável aleatória X.
Vamos mostrar o menor dos dois ângulos que o girador faz com o y eixo. Assumimos que esse girador tem a mesma probabilidade de formar qualquer ângulo que outro e, portanto, W tem uma distribuição uniforme que varia de -π / 2 a π / 2.
A trigonometria básica nos fornece uma conexão entre nossas duas variáveis aleatórias:
X = bronzeadoW.
A função de distribuição cumulativa deXé derivado da seguinte maneira:
H(x) = P(X < x) = P(bronzeadoW < x) = P(W < arctanX)
Em seguida, usamos o fato de queW é uniforme, e isso nos dá:
H(x) = 0.5 + (arctanx)/π
Para obter a função de densidade de probabilidade, diferenciamos a função de densidade cumulativa. O resultado é h(x) = 1/[π (1 + x2) ]
Características da distribuição Cauchy
O que torna a distribuição de Cauchy interessante é que, embora a tenhamos definido usando o sistema físico de um spinner aleatório, uma variável aleatória com distribuição de Cauchy não possui média, variância ou momento função. Todos os momentos sobre a origem usada para definir esses parâmetros não existe.
Começamos considerando a média. A média é definida como o valor esperado de nossa variável aleatória e, portanto, E [X] = ∫-∞∞x /[π (1 + x2)] dx.
Integramos usando substituição. Se definirmos você = 1 +x2 então vemos que dvocê = 2x dx. Depois de fazer a substituição, a integral incorreta resultante não converge. Isso significa que o valor esperado não existe e que a média é indefinida.
Da mesma forma, a função de variação e geração de momentos é indefinida.
Nomeação da Distribuição Cauchy
A distribuição de Cauchy é nomeada para o matemático francês Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857). Apesar de essa distribuição ter o nome de Cauchy, as informações sobre a distribuição foram publicadas pela primeira vez por Poisson.