Probabilidades de jogar três dados

Dados fornecem ótimas ilustrações para conceitos em probabilidade. Os dados mais usados ​​são cubos com seis lados. Aqui, veremos como calcular probabilidades para rolar três dados padrão. É um problema relativamente padrão calcular a probabilidade da soma obtida por rolando dois dados. Há um total de 36 jogadas diferentes com dois dados, sendo possível a soma de 2 a 12.Como o problema muda se adicionarmos mais dados?

Assim como um dado tem seis resultados e dois dados têm 6² = 36 resultados, o experimento de probabilidade de rolar três dados tem 6³ = 216 resultados. Essa idéia generaliza ainda mais para mais dados. Se rolarmos n dados, então existem 6ⁿ resultados.

Também podemos considerar as possíveis somas ao rolar vários dados. A menor soma possível ocorre quando todos os dados são os menores, ou um cada. Isso dá uma soma de três quando estamos rolando três dados. O maior número em um dado é seis, o que significa que a maior soma possível ocorre quando todos os três dados são seis. A soma desta situação é 18.

Quando n dados são rolados, a menor soma possível é n e a maior soma possível é 6n.

• Existe uma maneira possível de três dados totalizarem 3
• 3 maneiras para 4
• 6 para 5
• 10 para 6
• 15 para 7
• 21 para 8
• 25 para 9
• 27 para 10
• 27 para 11
• 25 para 12
• 21 para 13
• 15 para 14
• 10 para 15
• 6 para 16
• 3 para 17
• 1 para 18

Como discutido acima, para três dados, as somas possíveis incluem todos os números de três a 18. As probabilidades podem ser calculadas usando estratégias de contagem e reconhecendo que estamos procurando maneiras de particionar um número em exatamente três números inteiros. Por exemplo, a única maneira de obter uma soma de três é 3 = 1 + 1 + 1. Como cada dado é independente dos outros, uma soma como quatro pode ser obtida de três maneiras diferentes:

• 1 + 1 + 2
• 1 + 2 + 1
• 2 + 1 + 1

Mais argumentos de contagem podem ser usados ​​para encontrar o número de maneiras de formar as outras somas. As partições para cada soma são as seguintes:

• 3 = 1 + 1 + 1
• 4 = 1 + 1 + 2
• 5 = 1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1
• 6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
• 7 = 1 + 1 + 5 = 2 + 2 + 3 = 3 + 3 + 1 = 1 + 2 + 4
• 8 = 1 + 1 + 6 = 2 + 3 + 3 = 4 + 3 + 1 = 1 + 2 + 5 = 2 + 2 + 4
• 9 = 6 + 2 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4
• 10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 = 1 + 4 + 5
• 11 = 6 + 4 + 1 = 1 + 5 + 5 = 5 + 4 + 2 = 3 + 3 + 5 = 4 + 3 + 4 = 6 + 3 + 2
• 12 = 6 + 5 + 1 = 4 + 3 + 5 = 4 + 4 + 4 = 5 + 2 + 5 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3
• 13 = 6 + 6 + 1 = 5 + 4 + 4 = 3 + 4 + 6 = 6 + 5 + 2 = 5 + 5 + 3
• 14 = 6 + 6 + 2 = 5 + 5 + 4 = 4 + 4 + 6 = 6 + 5 + 3
• 15 = 6 + 6 + 3 = 6 + 5 + 4 = 5 + 5 + 5
• 16 = 6 + 6 + 4 = 5 + 5 + 6
• 17 = 6 + 6 + 5
• 18 = 6 + 6 + 6

Quando três números diferentes formam a partição, como 7 = 1 + 2 + 4, existem 3! (3x2x1) maneiras diferentes de permutando esses números. Portanto, isso conta para três resultados no espaço da amostra. Quando dois números diferentes formam a partição, existem três maneiras diferentes de permutar esses números.

Dividimos o número total de maneiras de obter cada soma pelo número total de resultados no espaço amostralou 216. Os resultados são:

• Probabilidade de uma soma de 3: 1/216 = 0,5%
• Probabilidade de uma soma de 4: 3/216 = 1,4%
• Probabilidade de uma soma de 5: 6/216 = 2,8%
• Probabilidade de uma soma de 6: 10/216 = 4,6%
• Probabilidade de uma soma de 7: 15/216 = 7,0%
• Probabilidade de uma soma de 8: 21/216 = 9.7%
• Probabilidade de uma soma de 9: 25/216 = 11,6%
• Probabilidade de uma soma de 10: 27/216 = 12,5%
• Probabilidade de uma soma de 11: 27/216 = 12,5%
• Probabilidade de uma soma de 12: 25/216 = 11,6%
• Probabilidade de uma soma de 13: 21/216 = 9,7%
• Probabilidade de uma soma de 14: 15/216 = 7,0%
• Probabilidade de uma soma de 15: 10/216 = 4,6%
• Probabilidade de uma soma de 16: 6/216 = 2,8%
• Probabilidade de uma soma de 17: 3/216 = 1,4%
• Probabilidade de uma soma de 18: 1/216 = 0,5%

Como pode ser visto, os valores extremos de 3 e 18 são menos prováveis. As somas que estão exatamente no meio são as mais prováveis. Isso corresponde ao que foi observado quando dois dados foram lançados.