Uma maneira popular de estudar a probabilidade é jogar dados. Um dado padrão tem seis lados impressos com pequenos pontos numerando 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Se o dado é justo (e nós iremos presumir que todos eles são), então cada um desses resultados é igualmente provável. Como existem seis resultados possíveis, a probabilidade de obter qualquer lado do dado é 1/6. A probabilidade de rolar um 1 é 1/6, a probabilidade de rolar um 2 é 1/6 e assim por diante. Mas o que acontece se adicionarmos outro dado? Quais são as probabilidades de jogar dois dados?
Probabilidade de Rolar Dados
Para determinar corretamente a probabilidade de um lançamento de dados, precisamos saber duas coisas:
- O tamanho do espaço amostral ou o conjunto de possíveis resultados totais
- Com que frequência um evento ocorre
Dentro probabilidade, um evento é um determinado subconjunto do espaço de amostra. Por exemplo, quando apenas um dado é rolado, como no exemplo acima, o espaço da amostra é igual a todos os valores no dado ou no conjunto (1, 2, 3, 4, 5, 6). Como o dado é justo, cada número no conjunto ocorre apenas uma vez. Em outras palavras, a frequência de cada número é 1. Para determinar a probabilidade de rolar qualquer um dos números no dado, dividimos a frequência do evento (1) pelo tamanho do espaço amostral (6), resultando em uma probabilidade de 1/6.
Jogar dois dados justos mais do que duplica a dificuldade de calcular probabilidades. Isso ocorre porque rolar um dado é independente de rolar um segundo. Um rolo não tem efeito no outro. Ao lidar com eventos independentes, usamos o regra de multiplicação. O uso de um diagrama em árvore demonstra que existem 6 x 6 = 36 resultados possíveis ao jogar dois dados.
Suponha que o primeiro dado que lançamos seja 1. O outro rolo de matriz pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Agora, suponha que o primeiro dado seja um 2. O outro rolo de dado novamente poderia ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Já encontramos 12 resultados em potencial e ainda precisamos esgotar todas as possibilidades do primeiro dado.
Tabela de Probabilidades de Rolar Dois Dados
Os possíveis resultados do lançamento de dois dados estão representados na tabela abaixo. Observe que o número total de resultados possíveis é igual ao espaço amostral do primeiro dado (6) multiplicado pelo espaço de amostra do segundo dado (6), que é 36.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | (1, 1) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (1, 5) | (1, 6) |
| 2 | (2, 1) | (2, 2) | (2, 3) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3, 4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (4, 5) | (4, 6) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
Três ou mais dados
O mesmo princípio se aplica se estivermos trabalhando em problemas envolvendo três dados. Nós multiplicamos e vemos que existem 6 x 6 x 6 = 216 resultados possíveis. Como fica complicado escrever a multiplicação repetida, podemos usar expoentes para simplificar o trabalho. Para dois dados, existem 62 Possíveis resultados. Para três dados, existem 63 Possíveis resultados. Em geral, se rolarmos n dados, então há um total de 6n Possíveis resultados.
Problemas de amostra
Com esse conhecimento, podemos resolver todos os tipos de problemas de probabilidade:
1. Dois dados de seis lados são lançados. Qual é a probabilidade de a soma dos dois dados ser sete?
A maneira mais fácil de resolver esse problema é consultar a tabela acima. Você notará que em cada linha há um lançamento de dados em que a soma dos dois dados é igual a sete. Como existem seis linhas, existem seis resultados possíveis em que a soma dos dois dados é igual a sete. O número total de resultados possíveis permanece 36. Novamente, encontramos a probabilidade dividindo a frequência do evento (6) pelo tamanho do espaço amostral (36), resultando em uma probabilidade de 1/6.
2. Dois dados de seis lados são lançados. Qual é a probabilidade de que a soma dos dois dados é três?
No problema anterior, você deve ter notado que as células onde a soma dos dois dados é igual a sete formam uma diagonal. O mesmo acontece aqui, exceto que, neste caso, existem apenas duas células em que a soma dos dados é três. Isso ocorre porque existem apenas duas maneiras de obter esse resultado. Você deve rolar 1 e 2 ou rolar 2 e 1. As combinações para rolar uma soma de sete são muito maiores (1 e 6, 2 e 5, 3 e 4 e assim por diante). Para encontrar a probabilidade de a soma dos dois dados ser três, podemos dividir a frequência do evento (2) pelo tamanho do espaço amostral (36), resultando em uma probabilidade de 1/18.
3. Dois dados de seis lados são lançados. Qual é a probabilidade de que o números nos dados são diferentes?
Novamente, podemos resolver esse problema facilmente consultando a tabela acima. Você notará que as células onde os números nos dados são iguais formam uma diagonal. Existem apenas seis deles e, uma vez cruzados, temos as células restantes nas quais os números nos dados são diferentes. Podemos pegar o número de combinações (30) e dividi-lo pelo tamanho do espaço amostral (36), resultando em uma probabilidade de 5/6.