Características de um número real

O que é um número? Bem, isso depende. Existem vários tipos diferentes de números, cada um com suas próprias propriedades particulares. Um tipo de número, sobre o qual Estatisticas, probabilidade e grande parte da matemática é baseada em, é chamado um número real.

Para saber o que é um número real, faremos um breve tour por outros tipos de números.

Primeiro aprendemos sobre números para contar. Começamos combinando os números 1, 2 e 3 com os dedos. Então nós continuamos o mais alto possível, o que provavelmente não era tão alto. Esses números contadores ou números naturais eram os únicos que conhecíamos.

Mais tarde, ao lidar com subtração, negativo números inteiros foram introduzidos. O conjunto de números inteiros positivos e negativos é chamado de conjunto de números inteiros. Logo depois disso, foram considerados números racionais, também chamados frações. Como todo número inteiro pode ser escrito como uma fração com 1 no denominador, dizemos que os números inteiros formam um subconjunto dos números racionais.

o gregos antigos percebeu que nem todos os números podem ser formados como uma fração. Por exemplo, a raiz quadrada de 2 não pode ser expressa como uma fração. Esses tipos de números são chamados de números irracionais. Os números irracionais são abundantes e, de certa forma, surpreendentemente, em certo sentido, há mais números irracionais do que números racionais. Outros números irracionais incluem pi e e.

Todo número real pode ser escrito como decimal. Diferentes tipos de números reais têm diferentes tipos de expansões decimais. A expansão decimal de um número racional está terminando, como 2, 3,25 ou 1,2342, ou repetindo, como 0,33333.. Ou .123123123.. . Em contraste com isso, a expansão decimal de um número irracional é interminável e não repetitiva. Podemos ver isso na expansão decimal de pi. Existe uma sequência interminável de dígitos para pi e, além do mais, não existe uma sequência de dígitos que se repita indefinidamente.

Os números reais podem ser visualizados associando cada um deles a um número infinito de pontos ao longo de uma linha reta. Os números reais têm uma ordem, o que significa que, para quaisquer dois números reais distintos, podemos dizer que um é maior que o outro. Por convenção, mover para a esquerda na linha do número real corresponde a números cada vez menores. Mover para a direita ao longo da linha do número real corresponde a números cada vez maiores.

Os números reais se comportam como outros números com os quais estamos acostumados. Podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividi-los (contanto que não o dividamos por zero). A ordem de adição e multiplicação não é importante, pois há uma propriedade comutativa. Uma propriedade distributiva nos diz como a multiplicação e a adição interagem entre si.

Como mencionado anteriormente, os números reais possuem uma ordem. Dados quaisquer dois números reais x e y, sabemos que um e apenas um dos seguintes é verdadeiro:

x = y, x < y ou x > y.

A propriedade que diferencia os números reais de outros conjuntos de números, como os racionais, é uma propriedade conhecida como completude. A completude é um pouco técnica para explicar, mas a noção intuitiva é que o conjunto de números racionais tem lacunas. O conjunto de números reais não possui lacunas, porque está completo.

Como ilustração, veremos a sequência dos números racionais 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,. .. Cada termo dessa sequência é uma aproximação a pi, obtida truncando a expansão decimal para pi. Os termos dessa sequência se aproximam cada vez mais de pi. No entanto, como mencionamos, pi não é um número racional. Precisamos usar números irracionais para conectar os orifícios da linha numérica que ocorrem considerando apenas os números racionais.

Não deveria surpreender que haja um número infinito de números reais. Isso pode ser visto com bastante facilidade quando consideramos que números inteiros formam um subconjunto dos números reais. Também poderíamos ver isso ao perceber que a linha numérica tem um número infinito de pontos.

O que é surpreendente é que o infinito usado para contar os números reais é de um tipo diferente do infinito usado para contar os números inteiros. Números inteiros, números inteiros e racionais são infinitamente contáveis. O conjunto de números reais é incontávelmente infinito.

Os números reais recebem seu nome para diferenciá-los de uma generalização ainda mais abrangente do conceito de número. O número imaginário Eu é definido como a raiz quadrada da raiz negativa. Qualquer número real multiplicado por Eu também é conhecido como um número imaginário. Os números imaginários definitivamente ampliam nossa concepção de número, pois não são exatamente o que pensávamos quando aprendemos a contar.