Matemática vetorial: uma introdução básica, mas abrangente

Esta é uma introdução básica, embora esperançosamente bastante abrangente, ao trabalho com vetores. Os vetores se manifestam de várias maneiras, desde deslocamento, velocidade e aceleração até forças e campos. Este artigo é dedicado à matemática de vetores; sua aplicação em situações específicas será abordada em outro lugar.

UMA grandeza vetorialou vetor, fornece informações sobre não apenas a magnitude, mas também a direção da quantidade. Ao dar instruções para uma casa, não basta dizer que está a 16 quilômetros de distância, mas a direção dessas 16 milhas também deve ser fornecida para que as informações sejam úteis. Variáveis ​​que são vetores serão indicadas com uma variável em negrito, embora seja comum ver vetores denotados com pequenas setas acima da variável.

Assim como não dizemos que a outra casa está a -10 milhas de distância, a magnitude de um vetor é sempre um número positivo, ou melhor, o valor absoluto do "comprimento" do vetor (embora o quantidade pode não ser um comprimento, pode ser uma velocidade, aceleração, força etc.) Um negativo na frente de um vetor não indica uma alteração na magnitude, mas na direção da vetor.

Nos exemplos acima, distância é a quantidade escalar (10 milhas), mas deslocamento é a quantidade vetorial (10 milhas a nordeste). Da mesma forma, a velocidade é uma quantidade escalar enquanto a velocidade é uma vetor quantidade.

UMA vetor de unidade é um vetor que possui uma magnitude de um. Um vetor representando um vetor unitário também é geralmente em negrito, embora tenha um quilate (^) acima para indicar a natureza da unidade da variável. O vetor de unidade x, quando escrito com um quilate, geralmente é lido como "x-hat" porque o quilate parece um chapéu na variável.

o vetor zeroou vetor nulo, é um vetor com magnitude zero. Está escrito como 0 neste artigo.

Os vetores geralmente são orientados em um sistema de coordenadas, o mais popular dos quais é o plano cartesiano bidimensional. O plano cartesiano possui um eixo horizontal rotulado x e um eixo vertical rotulado y. Algumas aplicações avançadas de vetores na física requerem o uso de um espaço tridimensional, no qual os eixos são x, ye z. Este artigo tratará principalmente do sistema bidimensional, embora os conceitos possam ser expandidos com algum cuidado para três dimensões sem muita dificuldade.

Vetores em sistemas de coordenadas de múltiplas dimensões podem ser divididos em vetores componentes. No caso bidimensional, isso resulta em uma componente x e um componente y. Ao dividir um vetor em seus componentes, o vetor é uma soma dos componentes:

F = F_x + F_y

tetaF_xF_yF

F_x / F = cos teta e F_y / F = sin tetao que nos dá
F_x = F porque teta e F_y = F pecado teta

Observe que os números aqui são as magnitudes dos vetores. Conhecemos a direção dos componentes, mas estamos tentando descobrir a magnitude deles, por isso retiramos as informações direcionais e executamos esses cálculos escalares para descobrir a magnitude. Uma aplicação adicional da trigonometria pode ser usada para encontrar outros relacionamentos (como a tangente) relacionados entre algumas dessas quantidades, mas acho que isso é o suficiente por enquanto.

Por muitos anos, a única matemática que um aluno aprende é a matemática escalar. Se você viaja 5 milhas ao norte e 5 milhas a leste, viajou 10 milhas. A adição de quantidades escalares ignora todas as informações sobre as direções.

Os vetores são manipulados de maneira um pouco diferente. A direção deve sempre ser levada em consideração ao manipulá-las.

Quando você adiciona dois vetores, é como se você pegasse os vetores e os colocasse de ponta a ponta e crie um novo vetor que vai do ponto inicial ao ponto final. Se os vetores tiverem a mesma direção, isso significa apenas adicionar as magnitudes, mas se elas tiverem direções diferentes, pode se tornar mais complexo.

Você adiciona vetores dividindo-os em seus componentes e adicionando os componentes, como abaixo:

uma + b = c
uma_x + uma_y + b_x + b_y =
( uma_x + b_x) + ( uma_y + b_y) = c_x + c_y

Os dois componentes x resultarão no componente x da nova variável, enquanto os dois componentes y resultarão no componente y da nova variável.

A ordem na qual você adiciona os vetores não importa. De fato, várias propriedades da adição escalar são válidas para a adição de vetores:

Propriedade de identidade da adição de vetor
uma + 0 = uma
Propriedade inversa da adição de vetor
uma + -uma = uma - uma = 0
Propriedade reflexiva da adição de vetor
uma = uma
Propriedade comutativa de adição de vetor
uma + b = b + uma
Propriedade associativa da adição de vetor
(uma + b) + c = uma + (b + c)
Propriedade transitiva da adição de vetor
E se uma = b e c = b, então uma = c

A operação mais simples que pode ser executada em um vetor é multiplicá-lo por um escalar. Essa multiplicação escalar altera a magnitude do vetor. Em outras palavras, torna o vetor mais longo ou mais curto.

Ao multiplicar vezes um escalar negativo, o vetor resultante apontará na direção oposta.

o produto escalar de dois vetores é uma maneira de multiplicá-los para obter uma quantidade escalar. Isso é escrito como uma multiplicação dos dois vetores, com um ponto no meio representando a multiplicação. Como tal, é freqüentemente chamado de ponto de produto de dois vetores.

Para calcular o produto escalar de dois vetores, considere o ângulo entre eles. Em outras palavras, se eles compartilhassem o mesmo ponto de partida, qual seria a medida do ângulo (teta) entre eles. O produto escalar é definido como:

uma * b = ab porque teta

ababba

Nos casos em que os vetores são perpendiculares (ou teta = 90 graus), cos teta será zero. Portanto, o produto escalar de vetores perpendiculares é sempre zero. Quando os vetores são paralelo (ou teta = 0 graus), cos teta é 1, então o produto escalar é apenas o produto das magnitudes.

Esses pequenos fatos podem ser usados ​​para provar que, se você conhece os componentes, pode eliminar completamente a necessidade de teta com a equação (bidimensional):

uma * b = uma_x b_x + uma_y b_y

o produto vetorial está escrito no formulário uma x be geralmente é chamado de produto cruzado de dois vetores. Nesse caso, estamos multiplicando os vetores e, em vez de obter uma quantidade escalar, obteremos uma quantidade vetorial. Esse é o mais complicado dos cálculos vetoriais com os quais lidaremos, pois é não comutativo e envolve o uso do temido regra da mão direita, que chegarei em breve.

Novamente, consideramos dois vetores desenhados do mesmo ponto, com o ângulo teta entre eles. Sempre tomamos o menor ângulo, então teta sempre estará no intervalo de 0 a 180 e, portanto, o resultado nunca será negativo. A magnitude do vetor resultante é determinada da seguinte forma:

E se c = uma x b, então c = ab pecado teta

O produto vetorial de vetores paralelos (ou antiparalelos) é sempre zero

O produto vetorial será perpendicular ao plano criado a partir desses dois vetores. Se você imaginar o plano como plano sobre uma mesa, a questão se tornará se o vetor resultante for para cima (nosso "fora" da mesa, da nossa perspectiva) ou para baixo (ou "dentro" da mesa, do nosso perspectiva).

Para descobrir isso, você deve aplicar o que é chamado de regra da mão direita. Quando estudei física na escola, eu detestado a regra da mão direita. Toda vez que eu o usava, precisava retirar o livro para verificar como ele funcionava. Espero que minha descrição seja um pouco mais intuitiva do que a que me foi apresentada.

Se você tem uma x b você colocará sua mão direita ao longo do comprimento b para que seus dedos (exceto o polegar) possam se curvar para apontar uma. Em outras palavras, você está tentando fazer o ângulo teta entre a palma da mão e os quatro dedos da mão direita. O polegar, nesse caso, ficará grudado para cima (ou fora da tela, se você tentar fazer isso no computador). Suas juntas serão aproximadamente alinhadas com o ponto de partida dos dois vetores. A precisão não é essencial, mas quero que você entenda a ideia, pois não tenho uma imagem disso para fornecer.

Se, no entanto, você está considerando b x uma, você fará o oposto. Você vai colocar sua mão direita uma e aponte seus dedos b. Se tentar fazer isso na tela do computador, você achará impossível, então use sua imaginação. Você verá que, nesse caso, seu polegar imaginativo está apontando para a tela do computador. Essa é a direção do vetor resultante.

A regra da direita mostra o seguinte relacionamento:

uma x b = - b x uma

cabc

c_x = uma_y b_z - uma_z b_y
c_y = uma_z b_x - uma_x b_z
c_z = uma_x b_y - uma_y b_x

abc_xc_yc

Em níveis mais altos, os vetores podem ser extremamente complexos para trabalhar. Cursos completos na faculdade, como álgebra linear, dedicam muito tempo às matrizes (que eu gentilmente evitei nesta introdução), vetores e espaços vetoriais. Esse nível de detalhe está além do escopo deste artigo, mas deve fornecer os fundamentos necessários para a maior parte da manipulação de vetores que é realizada na sala de aula de física. Se você pretende estudar física com mais profundidade, será apresentado aos conceitos vetoriais mais complexos à medida que avança na sua educação.