A diferença de dois conjuntos, escritos UMA - B é o conjunto de todos os elementos de UMA que não são elementos de B. A operação de diferença, junto com a união e a interseção, é uma importante e operação fundamental da teoria dos conjuntos.
Descrição da diferença
A subtração de um número de outro pode ser pensada de várias maneiras diferentes. Um modelo para ajudar a entender esse conceito é chamado de modelo para levar subtração. Nisso, o problema 5 - 2 = 3 seria demonstrado começando com cinco objetos, removendo dois deles e contando que restavam três. Da mesma forma que encontramos a diferença entre dois números, podemos encontrar a diferença de dois conjuntos.
Um exemplo
Veremos um exemplo da diferença definida. Para ver como a diferença de dois conjuntos forma um novo conjunto, vamos considerar os conjuntos UMA = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Para encontrar a diferença UMA - B desses dois conjuntos, começamos escrevendo todos os elementos de UMAe, em seguida, retire todos os elementos de
UMA isso também é um elemento de B. Desde a UMA compartilha os elementos 3, 4 e 5 com B, isso nos dá a diferença definida UMA - B = {1, 2}.A ordem é importante
Assim como as diferenças 4 - 7 e 7 - 4 nos dão respostas diferentes, precisamos ter cuidado com a ordem em que calculamos a diferença definida. Para usar um termo técnico da matemática, diríamos que a operação definida da diferença não é comutativa. O que isso significa é que, em geral, não podemos alterar a ordem da diferença de dois conjuntos e esperar o mesmo resultado. Podemos afirmar com mais precisão que para todos os conjuntos UMA e B, UMA - B não é igual a B - UMA.
Para ver isso, consulte o exemplo acima. Calculamos que para os conjuntos UMA = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, a diferença UMA - B = {1, 2 }. Para comparar isso com B - UMA, começamos com os elementos de B, que são 3, 4, 5, 6, 7, 8 e, em seguida, remova o 3, o 4 e o 5, porque são comuns a UMA. O resultado é B - UMA = {6, 7, 8 }. Este exemplo mostra claramente que A - B não é igual a BA.
O Complemento
Um tipo de diferença é importante o suficiente para justificar seu próprio nome e símbolo especiais. Isso é chamado de complemento e é usado para a diferença definida quando o primeiro set é o conjunto universal. O complemento de UMA é dado pela expressão você - UMA. Refere-se ao conjunto de todos os elementos no conjunto universal que não são elementos de UMA. Como se entende que o conjunto de elementos que podemos escolher são retirados do conjunto universal, podemos simplesmente dizer que o complemento de UMA é o conjunto composto por elementos que não são elementos de UMA.
O complemento de um conjunto é relativo ao conjunto universal com o qual estamos trabalhando. Com UMA = {1, 2, 3} e você = {1, 2, 3, 4, 5}, o complemento de UMA é {4, 5}. Se nosso conjunto universal for diferente, digamos você = {-3, -2, 0, 1, 2, 3}, então o complemento de UMA {-3, -2, -1, 0}. Sempre preste atenção no conjunto universal que está sendo usado.
Notação para o complemento
A palavra "complemento" começa com a letra C e, portanto, é usada na notação. O complemento do conjunto UMA está escrito como UMAC. Assim, podemos expressar a definição do complemento em símbolos como: UMAC = você - UMA.
Outra maneira que é comumente usada para denotar o complemento de um conjunto envolve um apóstrofo e é escrita como UMA'.
Outras identidades que envolvem a diferença e complementos
Existem muitas identidades definidas que envolvem o uso das operações de diferença e complemento. Algumas identidades combinam outras operações definidas, como o interseção e União. Alguns dos mais importantes são mencionados abaixo. Para todos os conjuntos UMAe B e D temos:
- UMA - UMA =∅
- UMA - ∅ = UMA
- ∅ - UMA = ∅
- UMA - você = ∅
- (UMAC)C = UMA
- Lei de DeMorgan I: (UMA ∩ B)C = UMAC ∪ BC
- Lei II de DeMorgan: (UMA ∪ B)C = UMAC ∩ BC