Contar pode parecer uma tarefa fácil de executar. À medida que nos aprofundamos na área de matemática conhecido como combinatória, percebemos que encontramos alguns grandes números. Desde o fatorial aparece com tanta frequência e um número como 10! é maior que três milhão, os problemas de contagem podem se complicar muito rapidamente se tentarmos listar todas as possibilidades.
Às vezes, quando consideramos todas as possibilidades que nossos problemas de contagem podem assumir, é mais fácil pensar nos princípios subjacentes do problema. Essa estratégia pode levar muito menos tempo do que tentar a força bruta para listar uma série de combinações ou permutações.
A pergunta "De quantas maneiras algo pode ser feito?" é uma pergunta totalmente diferente de "Quais são as maneiras que algo pode ser feito? "Veremos essa idéia em ação no seguinte conjunto de contagens desafiadoras problemas
O seguinte conjunto de perguntas envolve a palavra TRIÂNGULO. Observe que há um total de oito letras. Entenda-se que o
vogais da palavra TRIÂNGULO são AEI, e as consoantes da palavra TRIÂNGULO são LGNRT. Para um desafio real, antes de ler mais, confira uma versão desses problemas sem soluções.Os problemas
- De quantas maneiras as letras da palavra TRIÂNGULO podem ser organizadas?
Solução: Aqui há um total de oito opções para a primeira letra, sete para a segunda, seis para a terceira e assim por diante. Pelo princípio da multiplicação, multiplicamos por um total de 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8! = 40.320 maneiras diferentes. - De quantas maneiras as letras da palavra TRIÂNGULO podem ser organizadas se as três primeiras letras devem ser RAN (nessa ordem exata)?
Solução: As três primeiras letras foram escolhidas para nós, deixando cinco letras. Após o RAN, temos cinco opções para a próxima letra, seguidas de quatro, depois três, depois duas e uma. Pelo princípio da multiplicação, existem 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120 maneiras de organizar as letras de uma maneira especificada. - De quantas maneiras as letras da palavra TRIÂNGULO podem ser organizadas se as três primeiras devem ser RAN (em qualquer ordem)?
Solução: Veja isso como duas tarefas independentes: a primeira organizando as letras RAN e a segunda organizando as outras cinco letras. Existem 3! = 6 maneiras de organizar RAN e 5! Maneiras de organizar as outras cinco letras. Portanto, há um total de 3! x 5! = 720 maneiras de organizar as letras de TRIÂNGULO conforme especificado. - De quantas maneiras as letras da palavra TRIÂNGULO podem ser organizadas se as três primeiras letras devem ser RAN (em qualquer ordem) e a última letra deve ser uma vogal?
Solução: Veja isso como três tarefas: a primeira organizando as letras RAN, a segunda escolhendo uma vogal de I e E, e a terceira organizando as outras quatro letras. Existem 3! = 6 maneiras de organizar o RAN, 2 maneiras de escolher uma vogal das letras restantes e 4! Maneiras de organizar as outras quatro letras. Portanto, há um total de 3! X 2 x 4! = 288 maneiras de organizar as letras de TRIÂNGULO conforme especificado. - De quantas maneiras as letras da palavra TRIÂNGULO podem ser organizadas se as três primeiras letras devem ser RAN (em qualquer ordem) e as próximas três letras devem ser TRI (em qualquer ordem)?
Solução: Novamente, temos três tarefas: a primeira organizando as letras RAN, a segunda organizando as letras TRI e a terceira organizando as outras duas letras. Existem 3! = 6 maneiras de organizar RAN, 3! maneiras de organizar o TRI e duas maneiras de organizar as outras letras. Portanto, há um total de 3! x 3! X 2 = 72 maneiras de organizar as letras de TRIÂNGULO conforme indicado. - De quantas maneiras diferentes as letras da palavra TRIÂNGULO podem ser organizadas se a ordem e a colocação das vogais IAE não puderem ser alteradas?
Solução: As três vogais devem ser mantidas na mesma ordem. Agora, há um total de cinco consoantes para organizar. Isso pode ser feito em 5! = 120 maneiras. - De quantas maneiras diferentes as letras da palavra TRIÂNGULO podem ser organizadas se a ordem das vogais IAE não puder podem ser alterados, embora sua localização possa (IAETRNGL e TRIANGEL sejam aceitáveis, mas EIATRNGL e TRIENGLA são não)?
Solução: É melhor pensar em duas etapas. O primeiro passo é escolher os lugares que as vogais vão. Aqui estamos escolhendo três lugares em oito, e a ordem em que fazemos isso não é importante. Esta é uma combinação e há um total de C(8,3) = 56 maneiras de executar esta etapa. As cinco letras restantes podem ser dispostas em 5! = 120 maneiras. Isso fornece um total de 56 x 120 = 6720 arranjos. - De quantas maneiras diferentes as letras da palavra TRIÂNGULO podem ser organizadas se a ordem das vogais IAE puder ser alterada, embora sua localização não?
Solução: É realmente a mesma coisa que o nº 4 acima, mas com letras diferentes. Organizamos três letras em 3! = 6 maneiras e as outras cinco letras em 5! = 120 maneiras. O número total de maneiras para este arranjo é 6 x 120 = 720. - Quantas maneiras diferentes podem ser organizadas seis letras da palavra TRIÂNGULO?
Solução: Já que estamos falando de um acordo, isso é uma permutação e há um total de P( 8, 6) = 8!/2! = 20.160 maneiras. - Quantas maneiras diferentes podem ser organizadas seis letras da palavra TRIÂNGULO se houver um número igual de vogais e consoantes?
Solução: Existe apenas uma maneira de selecionar as vogais que vamos colocar. A escolha das consoantes pode ser feita em C(5, 3) = 10 maneiras. Há então 6! maneiras de organizar as seis letras. Multiplique esses números juntos para o resultado de 7200. - Quantas maneiras diferentes podem ser organizadas seis letras da palavra TRIÂNGULO se houver pelo menos uma consoante?
Solução: Todo arranjo de seis letras satisfaz as condições, então existem P(8, 6) = 20.160 maneiras. - Quantas maneiras diferentes podem ser organizadas seis letras da palavra TRIÂNGULO se as vogais devem alternar com consoantes?
Solução: Existem duas possibilidades: a primeira letra é uma vogal ou a primeira letra é uma consoante. Se a primeira letra é uma vogal, temos três opções, seguidas de cinco para uma consoante, duas para uma segunda vogal, quatro para uma segunda consoante, uma para a última vogal e três para a última consoante. Nós multiplicamos isso para obter 3 x 5 x 2 x 4 x 1 x 3 = 360. Por argumentos de simetria, há o mesmo número de arranjos que começam com uma consoante. Isso dá um total de 720 arranjos. - Quantos conjuntos diferentes de quatro letras podem ser formados a partir da palavra TRIÂNGULO?
Solução: Já que estamos falando de um conjunto de quatro letras de um total de oito, a ordem não é importante. Precisamos calcular a combinação C(8, 4) = 70. - Quantos conjuntos diferentes de quatro letras podem ser formados a partir da palavra TRIÂNGULO que possui duas vogais e duas consoantes?
Solução: Aqui estamos formando nosso conjunto em duas etapas. tem C(3, 2) = 3 maneiras de escolher duas vogais de um total de 3. tem C(5, 2) = 10 maneiras de escolher consoantes entre as cinco disponíveis. Isso fornece um total de 3x10 = 30 conjuntos possíveis. - Quantos conjuntos diferentes de quatro letras podem ser formados a partir da palavra TRIÂNGULO se queremos pelo menos uma vogal?
Solução: Isso pode ser calculado da seguinte maneira:
- O número de conjuntos de quatro com uma vogal é C(3, 1) x C( 5, 3) = 30.
- O número de conjuntos de quatro com duas vogais é C(3, 2) x C( 5, 2) = 30.
- O número de conjuntos de quatro com três vogais é C(3, 3) x C( 5, 1) = 5.
Isso fornece um total de 65 conjuntos diferentes. Como alternativa, poderíamos calcular que existem 70 maneiras de formar um conjunto de quatro letras e subtrair o C(5, 4) = 5 maneiras de obter um conjunto sem vogais.