O que é a distribuição binomial negativa?

A distribuição binomial negativa é uma distribuição de probabilidade isso é usado com variáveis ​​aleatórias discretas. Esse tipo de distribuição diz respeito ao número de tentativas que devem ocorrer para ter um número predeterminado de sucessos. Como veremos, a distribuição binomial negativa está relacionada à distribuição binomial. Além disso, essa distribuição generaliza a distribuição geométrica.

Começaremos analisando a configuração e as condições que originam uma distribuição binomial negativa. Muitas dessas condições são muito semelhantes a uma configuração binomial.

1. Temos um experimento de Bernoulli. Isso significa que cada teste que realizamos tem um sucesso e fracasso bem definidos e que esses são os únicos resultados.
2. A probabilidade de sucesso é constante, não importa quantas vezes realizamos o experimento. Denotamos essa probabilidade constante com um p.
3. O experimento é repetido por X ensaios independentes, o que significa que o resultado de um estudo não afeta o resultado de um estudo subsequente.

Essas três condições são idênticas às de uma distribuição binomial. A diferença é que uma variável aleatória binomial tem um número fixo de tentativas n. Os únicos valores de X são 0, 1, 2,..., n então essa é uma distribuição finita.

Uma distribuição binomial negativa está relacionada ao número de tentativas X isso deve ocorrer até que tenhamos r sucessos. O número r é um número inteiro que escolhemos antes de começarmos a executar nossos testes. A variável aleatória X ainda é discreto. No entanto, agora a variável aleatória pode assumir valores de X = r, r + 1, r + 2,... Essa variável aleatória é contada infinitamente, pois pode levar um tempo arbitrariamente longo antes de obtermos r sucessos.

Para ajudar a entender uma distribuição binomial negativa, vale a pena considerar um exemplo. Suponha que você jogue uma moeda justa e faça a pergunta: "Qual é a probabilidade de termos três cabeças no primeiro X coin flips? "Esta é uma situação que exige uma distribuição binomial negativa.

Os lançamentos de moedas têm dois resultados possíveis, a probabilidade de sucesso é um constante 1/2 e os testes são independentes um do outro. Pedimos a probabilidade de obter as três primeiras cabeças após X moeda vira. Portanto, temos que jogar a moeda pelo menos três vezes. Continuamos lançando até a terceira cabeça aparecer.

Para calcular probabilidades relacionadas a uma distribuição binomial negativa, precisamos de mais algumas informações. Precisamos conhecer a função de massa de probabilidade.

A função de massa de probabilidade para uma distribuição binomial negativa pode ser desenvolvida com um pouco de reflexão. Todo julgamento tem uma probabilidade de sucesso dada por p. Como existem apenas dois resultados possíveis, isso significa que a probabilidade de falha é constante (1 - p ).

o ro sucesso deve ocorrer para o xth e julgamento final. O anterior x - 1 ensaios devem conter exatamente r - 1 sucessos. O número de maneiras pelas quais isso pode ocorrer é dado pelo número de combinações:

C (x - 1, r -1) = (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!].

Além disso, temos eventos independentes e, portanto, podemos multiplicar nossas probabilidades. Juntando tudo isso, obtemos a função de massa de probabilidade

f(x) = C (x - 1, r -1) p^r(1 - p)^{x - r}.

Agora estamos em posição de entender por que essa variável aleatória tem uma distribuição binomial negativa. O número de combinações que encontramos acima pode ser escrito de maneira diferente, definindo x - r = k:

(x - 1)! / [(r - 1)! (x - r)!] = (x + k - 1)! / [(R - 1)! k!] = (r + k - 1)(x + k - 2)... (r + 1) (r) /k! = (-1)^k(-r) (- r - 1).. . (- r - (k + 1) / k !.

Aqui vemos a aparência de um coeficiente binomial negativo, que é usado quando elevamos uma expressão binomial (a + b) a uma potência negativa.

É importante saber a média de uma distribuição, pois é uma maneira de denotar o centro da distribuição. A média desse tipo de variável aleatória é dada pelo seu valor esperado e é igual a r / p. Podemos provar isso com cuidado usando o função geradora de momento para esta distribuição.

A intuição também nos guia a essa expressão. Suponha que realizamos uma série de tentativas n₁ até obtermos r sucessos. E então fazemos isso novamente, só que desta vez é preciso n₂ ensaios. Continuamos repetidamente, até termos um grande número de grupos de testes N = n₁ + n₂ +... +n_k)

Cada um desses k ensaios contém r sucessos e, portanto, temos um total de kr sucessos. E se N é grande, esperamos ver cerca de Np sucessos. Assim, nós os igualamos juntos e temos kr = Np.

Fazemos álgebra e descobrimos que N / k = r / p. A fração no lado esquerdo desta equação é o número médio de tentativas necessárias para cada um de nossos k grupos de ensaios. Em outras palavras, este é o número esperado de vezes para realizar o experimento, para que tenhamos um total de r sucessos. Essa é exatamente a expectativa que desejamos encontrar. Vemos que isso é igual à fórmula r / p.

A variação da distribuição binomial negativa também pode ser calculada usando a função de geração de momento. Quando fazemos isso, vemos que a variação dessa distribuição é dada pela seguinte fórmula:

r (1 - p)/p²

A função geradora de momento para esse tipo de variável aleatória é bastante complicada. Lembre-se de que a função geradora de momento é definida como o valor esperado E [e^tX]. Ao usar esta definição com nossa função de massa de probabilidade, temos:

M (t) = E [e^tX] = Σ (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!] e^tXp^r(1 - p)^{x - r}

Depois de alguma álgebra, isso se torna M (t) = (pe^t)^r[1- (1- p) e^t]^-r

Vimos acima como a distribuição binomial negativa é semelhante em muitos aspectos à distribuição binomial. Além dessa conexão, a distribuição binomial negativa é uma versão mais geral de uma distribuição geométrica.

Uma variável aleatória geométrica X conta o número de tentativas necessárias antes que o primeiro sucesso ocorra. É fácil ver que essa é exatamente a distribuição binomial negativa, mas com r igual a um.

Existem outras formulações da distribuição binomial negativa. Alguns manuais definem X para ser o número de tentativas até r falhas ocorrem.

Veremos um exemplo de problema para ver como trabalhar com a distribuição binomial negativa. Suponha que um jogador de basquete seja um atirador de lance livre de 80%. Além disso, suponha que fazer um lance livre seja independente do próximo. Qual é a probabilidade de que para este jogador a oitava cesta seja feita no décimo lance livre?

Vemos que temos uma configuração para uma distribuição binomial negativa. A probabilidade constante de sucesso é de 0,8 e, portanto, a probabilidade de falha é de 0,2. Queremos determinar a probabilidade de X = 10 quando r = 8.

Conectamos esses valores à nossa função de massa de probabilidade:

f (10) = C (10 -1, 8-1) (0,8)⁸(0.2)²= 36(0.8)⁸(0.2)², que é de aproximadamente 24%.

Poderíamos então perguntar qual é o número médio de lances livres disparados antes que este jogador faça oito deles. Como o valor esperado é 8 / 0.8 = 10, este é o número de fotos.