Qual é o conjunto de potência

Uma pergunta em teoria de conjuntos é se um conjunto é um subconjunto de outro conjunto. Um subconjunto de UMA é um conjunto formado usando alguns dos elementos do conjunto UMA. Para B ser um subconjunto de UMA, todo elemento de B também deve ser um elemento de UMA.

Cada conjunto possui vários subconjuntos. Às vezes, é desejável conhecer todos os subconjuntos possíveis. Uma construção conhecida como conjunto de potência ajuda nesse empreendimento. O conjunto de potência do conjunto UMA é um conjunto com elementos que também são conjuntos. Esse conjunto de poder formado pela inclusão de todos os subconjuntos de um determinado conjunto UMA.

Vamos considerar dois exemplos de conjuntos de potência. Para o primeiro, se começarmos com o conjunto UMA = {1, 2, 3}, então qual é o conjunto de potência? Continuamos listando todos os subconjuntos de UMA.

• o conjunto vazio é um subconjunto de UMA. De fato, o conjunto vazio é um subconjunto de cada conjunto. Este é o único subconjunto sem elementos de UMA.
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• Os conjuntos {1}, {2}, {3} são os únicos subconjuntos de UMA com um elemento.
• Os conjuntos {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} são os únicos subconjuntos de UMA com dois elementos.
• Cada conjunto é um subconjunto de si mesmo. portanto UMA = {1, 2, 3} é um subconjunto de UMA. Este é o único subconjunto com três elementos.

Para o segundo exemplo, consideraremos o conjunto de potências de B ={1, 2, 3, 4}. Muito do que dissemos acima é semelhante, se não idêntico agora:

• O conjunto vazio e B são ambos subconjuntos.
• Como existem quatro elementos de B, existem quatro subconjuntos com um elemento: {1}, {2}, {3}, {4}.
• Como cada subconjunto de três elementos pode ser formado, eliminando um elemento da B e há quatro elementos, existem quatro subconjuntos: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}.
• Resta determinar os subconjuntos com dois elementos. Estamos formando um subconjunto de dois elementos escolhidos de um conjunto de 4. Esta é uma combinação e existem C (4, 2) = 6 dessas combinações. Os subconjuntos são: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}.

Existem duas maneiras pelas quais o conjunto de potência de um conjunto UMA é indicado. Uma maneira de denotar isso é usar o símbolo P( UMA), onde às vezes essa carta P é escrito com um script estilizado. Outra notação para o conjunto de potências de UMA é 2^UMA. Essa notação é usada para conectar o conjunto de potência ao número de elementos no conjunto de potência.

Examinaremos mais essa notação. E se UMA é um conjunto finito com n elementos, então seu conjunto de potência P (A ) terá 2ⁿ elementos. Se estamos trabalhando com um conjunto infinito, não é útil pensar em 2ⁿ elementos. No entanto, um teorema de Cantor nos diz que a cardinalidade de um conjunto e seu conjunto de potências não podem ser os mesmos.

Era uma questão em aberto em matemática se a cardinalidade do conjunto de potências de um conjunto contável infinito corresponde à cardinalidade dos reais. A resolução dessa questão é bastante técnica, mas diz que podemos optar por fazer essa identificação de cardinalidades ou não. Ambos levam a uma teoria matemática consistente.

O assunto da probabilidade é baseado na teoria dos conjuntos. Em vez de nos referirmos a conjuntos e subconjuntos universais, falamos sobre espaços de amostra e eventos. Às vezes, ao trabalhar com um espaço de amostra, desejamos determinar os eventos desse espaço de amostra. O conjunto de potência do espaço de amostra que temos nos fornecerá todos os eventos possíveis.