Se você pedisse a alguém para nomear sua constante matemática favorita, provavelmente obteria alguns olhares interrogativos. Depois de um tempo, alguém pode se voluntariar para que o melhor constante é pi. Mas essa não é a única constante matemática importante. Um segundo próximo, se não candidato pela coroa da constante mais onipresente, é e. Esse número aparece em cálculo, teoria dos números, probabilidade e Estatisticas. Examinaremos algumas das características desse número notável e veremos quais conexões ele tem com estatísticas e probabilidade.
Valor de e
Como pi, e é um irracional número real. Isso significa que não pode ser escrito como uma fração e que sua expansão decimal continua para sempre, sem nenhum bloco repetitivo de números que se repete continuamente. O número e também é transcendental, o que significa que não é a raiz de um polinômio diferente de zero com coeficientes racionais. As primeiras cinquenta casas decimais de são dadas por e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995.
Definição de e
O número e foi descoberto por pessoas curiosas sobre juros compostos. Nesta forma de interesse, o principal ganha juros e, em seguida, o interesse gerado ganha juros sobre si mesmo. Observou-se que quanto maior a frequência dos períodos compostos por ano, maior a quantidade de juros gerada. Por exemplo, podemos ver o interesse sendo composto:
- Anualmente ou uma vez por ano
- Semestralmente, ou duas vezes por ano
- Mensalmente, ou 12 vezes por ano
- Diariamente, ou 365 vezes por ano
O montante total de juros aumenta para cada um desses casos.
Surgiu uma questão de quanto dinheiro poderia ser ganho em juros. Para tentar ganhar ainda mais dinheiro, poderíamos, em teoria, aumentar o número de períodos compostos para o número que quiséssemos. O resultado final desse aumento é que consideraríamos o interesse sendo composto continuamente.
Enquanto o interesse gerado aumenta, o faz muito lentamente. A quantidade total de dinheiro na conta realmente se estabiliza e o valor para o qual ela se estabiliza é e. Para expressar isso usando uma fórmula matemática, dizemos que o limite como n aumentos de (1 + 1 /n)n = e.
Usos de e
O número e aparece ao longo da matemática. Aqui estão alguns dos lugares em que ele aparece:
- É a base do logaritmo natural. Desde que Napier inventou os logaritmos, e às vezes é chamada de constante de Napier.
- No cálculo, a função exponencial ex tem a propriedade exclusiva de ser seu próprio derivado.
- Expressões envolvendo ex e e-x combinam para formar as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico.
- Graças ao trabalho de Euler, sabemos que as constantes fundamentais da matemática estão inter-relacionadas pela fórmula eeu + 1 = 0, em que Eu é o número imaginário que é a raiz quadrada do número negativo.
- O número e aparece em várias fórmulas ao longo da matemática, especialmente na área da teoria dos números.
O valor que e em Estatística
A importância do número e não se limita a apenas algumas áreas da matemática. Existem também vários usos do número e em estatística e probabilidade. Alguns deles são os seguintes:
- O número e faz uma aparição no fórmula para a função gama.
- As fórmulas para o distribuição normal padrão envolve e para um poder negativo. Esta fórmula também inclui pi.
- Muitas outras distribuições envolvem o uso do número e. Por exemplo, as fórmulas para distribuição t, distribuição gama e distribuição qui-quadrado contêm o número e.