Um uso de um distribuição qui-quadrado é com testes de hipótese para experimentos multinomiais. Para ver como isso teste de hipótese funciona, investigaremos os dois exemplos a seguir. Ambos os exemplos funcionam com o mesmo conjunto de etapas:
- Formar hipóteses nulas e alternativas
- Calcular a estatística de teste
- Encontre o valor crítico
- Tome uma decisão sobre rejeitar ou deixar de rejeitar nossa hipótese nula.
Exemplo 1: Uma Moeda Justa
Para o nosso primeiro exemplo, queremos olhar para uma moeda. Uma moeda justa tem uma probabilidade igual de 1/2 de aparecer cara ou coroa. Jogamos uma moeda 1000 vezes e registramos os resultados de um total de 580 cabeças e 420 caudas. Queremos testar a hipótese com um nível de confiança de 95% de que a moeda que lançamos é justa. Mais formalmente, o hipótese nulaH0 é que a moeda é justa. Como estamos comparando as frequências observadas dos resultados de um lançamento de moeda com as freqüências esperadas de uma moeda justa idealizada, um teste do qui-quadrado deve ser usado.
Calcular a estatística do qui-quadrado
Começamos calculando a estatística qui-quadrado para esse cenário. Existem dois eventos, cara e coroa. Heads tem uma frequência observada de f1 = 580 com frequência esperada de e1 = 50% x 1000 = 500. As caudas têm uma frequência observada de f2 = 420 com uma frequência esperada de e1 = 500.
Agora usamos a fórmula para a estatística qui-quadrado e vemos que χ2 = (f1 - e1 )2/e1 + (f2 - e2 )2/e2= 802/500 + (-80)2/500 = 25.6.
Encontre o valor crítico
Em seguida, precisamos encontrar o valor crítico para a distribuição adequada do qui-quadrado. Como existem dois resultados para a moeda, há duas categorias a serem consideradas. O número de graus de liberdade é um a menos que o número de categorias: 2 - 1 = 1. Usamos a distribuição qui-quadrado para esse número de graus de liberdade e vemos que χ20.95=3.841.
Rejeitar ou deixar de rejeitar?
Finalmente, comparamos a estatística qui-quadrado calculada com o valor crítico da tabela. Desde 25.6> 3.841, rejeitamos a hipótese nula de que essa é uma moeda justa.
Exemplo 2: Um dado justo
Um dado justo tem uma probabilidade igual de 1/6 de rolar um, dois, três, quatro, cinco ou seis. Jogamos um dado 600 vezes e observamos que jogamos um 106 vezes, dois 90 vezes, três 98 vezes, quatro 102 vezes, cinco 100 vezes e seis 104 vezes. Queremos testar a hipótese, com um nível de confiança de 95%, de que temos um dado justo.
Calcular a estatística do qui-quadrado
Existem seis eventos, cada um com frequência esperada de 1/6 x 600 = 100. As frequências observadas são f1 = 106, f2 = 90, f3 = 98, f4 = 102, f5 = 100, f6 = 104,
Agora usamos a fórmula para a estatística qui-quadrado e vemos que χ2 = (f1 - e1 )2/e1 + (f2 - e2 )2/e2+ (f3 - e3 )2/e3+(f4 - e4 )2/e4+(f5 - e5 )2/e5+(f6 - e6 )2/e6 = 1.6.
Encontre o valor crítico
Em seguida, precisamos encontrar o valor crítico para a distribuição adequada do qui-quadrado. Como existem seis categorias de resultados para o dado, o número de graus de liberdade é um a menos que isso: 6 - 1 = 5. Usamos a distribuição qui-quadrado para cinco graus de liberdade e vemos que χ20.95=11.071.
Rejeitar ou deixar de rejeitar?
Finalmente, comparamos a estatística qui-quadrado calculada com o valor crítico da tabela. Como a estatística calculada do qui-quadrado é 1,6 é menor que nosso valor crítico de 11,071, nós falha em rejeitar a hipótese nula.