A média e a variância de uma variável aleatória X com um distribuição de probabilidade binomial Pode ser difícil calcular diretamente. Embora possa ficar claro o que precisa ser feito ao usar a definição do valor esperado do X e X2, a execução real dessas etapas é um malabarismo complicado de álgebra e somatórios. Uma maneira alternativa de determinar a média e a variação de um distribuição binomial é usar o função geradora de momento para X.
Variável aleatória binomial
Comece com a variável aleatória X e descreva o distribuição de probabilidade mais especificamente. Realizar n ensaios independentes de Bernoulli, cada um dos quais com probabilidade de sucesso p e probabilidade de falha 1 - p. Assim, a função massa de probabilidade é
f (x) = C(n, x)px(1 – p)n - x
Aqui o termo C(n, x) indica o número de combinações de n elementos tomados x de cada vez, e x pode assumir os valores 0, 1, 2, 3,. .., n.
Função Geradora de Momento
Use esta função de massa de probabilidade para obter a função geradora de momento de X:
M(t) = Σx = 0netxC(n,x)>)px(1 – p)n - x.
Torna-se claro que você pode combinar os termos com o expoente de x:
M(t) = Σx = 0n (educaçao Fisicat)xC(n,x)>)(1 – p)n - x.
Além disso, pelo uso da fórmula binomial, a expressão acima é simplesmente:
M(t) = [(1 – p) + educaçao Fisicat]n.
Cálculo da média
Para encontrar o significar e variação, você precisará conhecer ambos M'(0) e M’’(0). Comece calculando suas derivadas e avalie cada uma delas em t = 0.
Você verá que a primeira derivada da função geradora de momento é:
M’(t) = n(educaçao Fisicat)[(1 – p) + educaçao Fisicat]n - 1.
A partir disso, você pode calcular a média da distribuição de probabilidade. M(0) = n(educaçao Fisica0)[(1 – p) + educaçao Fisica0]n - 1 = np. Isso corresponde à expressão que obtivemos diretamente da definição da média.
Cálculo da variância
O cálculo da variância é realizado de maneira semelhante. Primeiro, diferencie a função geradora de momento novamente e depois avaliamos essa derivada em t = 0. Aqui você verá isso
M’’(t) = n(n - 1)(educaçao Fisicat)2[(1 – p) + educaçao Fisicat]n - 2 + n(educaçao Fisicat)[(1 – p) + educaçao Fisicat]n - 1.
Para calcular a variação dessa variável aleatória, você precisa encontrar M’’(t). Aqui você tem M’’(0) = n(n - 1)p2 +np. A variância σ2 da sua distribuição é
σ2 = M’’(0) – [M’(0)]2 = n(n - 1)p2 +np - (np)2 = np(1 - p).
Embora esse método esteja um pouco envolvido, não é tão complicado quanto calcular a média e a variância diretamente da função de massa de probabilidade.