Em toda a matemática e estatística, precisamos saber contar. Isto é particularmente verdade para alguns probabilidade problemas Suponha que recebamos um total de n objetos distintos e deseja selecionar r deles. Isso toca diretamente em uma área da matemática conhecida como combinatória, que é o estudo da contagem. Duas das principais maneiras de contar essas r objetos de n elementos são chamados permutações e combinações. Esses conceitos estão intimamente relacionados entre si e facilmente confusos.
Qual é a diferença entre uma combinação e permutação? A idéia principal é a da ordem. Uma permutação presta atenção à ordem em que selecionamos nossos objetos. O mesmo conjunto de objetos, mas tirados em uma ordem diferente, nos dará permutações diferentes. Com uma combinação, ainda selecionamos r objetos de um total de n, mas o pedido não é mais considerado.
Um exemplo de permutações
Para distinguir entre essas idéias, consideraremos o seguinte exemplo: quantas permutações existem de duas letras do conjunto {a, b, c}?
Aqui listamos todos os pares de elementos do conjunto fornecido, sempre prestando atenção à ordem. Há um total de seis permutações. A lista de todos estes são: ab, ba, bc, cb, ac e ca. Observe que, como permutações ab e BA são diferentes porque em um caso uma foi escolhido primeiro e no outro uma foi escolhido em segundo.
Um exemplo de combinações
Agora, responderemos à seguinte pergunta: quantas combinações existem de duas letras do conjunto {a, b, c}?
Como estamos lidando com combinações, não nos importamos mais com o pedido. Podemos resolver esse problema olhando as permutações e eliminando as que incluem as mesmas letras. Como combinações, ab e BA são considerados os mesmos. Portanto, existem apenas três combinações: ab, ac e bc.
Fórmulas
Para situações que encontramos com conjuntos maiores, é muito demorado listar todas as permutações ou combinações possíveis e contar o resultado final. Felizmente, existem fórmulas que nos dão o número de permutações ou combinações de n objetos tomados r de uma vez.
Nestas fórmulas, usamos a notação abreviada de n! chamado nfatorial. O fatorial simplesmente diz para multiplicar todos os números inteiros positivos menores ou iguais a n juntos. Então, por exemplo, 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Por definição 0! = 1.
O número de permutações de n objetos tomados r de cada vez é dado pela fórmula:
P(n,r) = n!/(n - r)!
O número de combinações de n objetos tomados r de cada vez é dado pela fórmula:
C(n,r) = n!/[r!(n - r)!]
Fórmulas no trabalho
Para ver as fórmulas em funcionamento, vejamos o exemplo inicial. O número de permutações de um conjunto de três objetos capturados dois de cada vez é dado por P(3,2) = 3!/(3 - 2)! = 6/1 = 6. Isso corresponde exatamente ao que obtivemos listando todas as permutações.
O número de combinações de um conjunto de três objetos obtidos dois de cada vez é dado por:
C(3,2) = 3!/[2!(3-2)!] = 6/2 = 3. Novamente, isso se alinha exatamente com o que vimos antes.
Definitivamente, as fórmulas economizam tempo quando somos solicitados a encontrar o número de permutações de um conjunto maior. Por exemplo, quantas permutações existem em um conjunto de dez objetos capturados três de cada vez? Levaria algum tempo para listar todas as permutações, mas com as fórmulas, vemos que haveria:
P(10,3) = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10 x 9 x 8 = 720 permutações.
A ideia principal
Qual é a diferença entre permutações e combinações? O ponto principal é que, na contagem de situações que envolvem um pedido, permutações devem ser usadas. Se o pedido não for importante, as combinações devem ser utilizadas.