O que é o conjunto vazio na teoria dos conjuntos?

Quando nada pode ser algo? Parece uma pergunta boba e bastante paradoxal. No campo matemático da teoria dos conjuntos, é rotineiro nada ser outra coisa senão nada. Como isso pode ser?

Quando formamos um conjunto sem elementos, não temos mais nada. Temos um conjunto sem nada. Há um nome especial para o conjunto que não contém elementos. Isso é chamado de conjunto vazio ou nulo.

A definição do conjunto vazio é bastante sutil e requer um pouco de reflexão. É importante lembrar que pensamos em um conjunto como uma coleção de elementos. O conjunto em si é diferente dos elementos que ele contém.

Por exemplo, veremos {5}, que é um conjunto que contém o elemento 5. O conjunto {5} não é um número. É um conjunto com o número 5 como um elemento, enquanto 5 é um número.

De maneira semelhante, o conjunto vazio não é nada. Em vez disso, é o conjunto sem elementos. Ajuda pensar em conjuntos como contêineres, e os elementos são as coisas que colocamos neles. Um contêiner vazio ainda é um contêiner e é análogo ao conjunto vazio.

O conjunto vazio é único, e é por isso que é inteiramente apropriado falar sobre a conjunto vazio, em vez de a conjunto vazio. Isso torna o conjunto vazio diferente de outros conjuntos. Existem infinitos conjuntos com um elemento neles. Os conjuntos {a}, {1}, {b} e {123} têm cada um um elemento e, portanto, são equivalentes entre si. Como os próprios elementos são diferentes um do outro, os conjuntos não são iguais.

Não há nada de especial nos exemplos acima, cada um com um elemento. Com uma exceção, para qualquer número de contagem ou infinito, existem infinitos conjuntos desse tamanho. A exceção é para o número zero. Existe apenas um conjunto, o conjunto vazio, sem elementos nele.

A prova matemática desse fato não é difícil. Primeiro, assumimos que o conjunto vazio não é único, que existem dois conjuntos sem elementos neles e, então, usamos algumas propriedades da teoria dos conjuntos para mostrar que essa suposição implica uma contradição.

O conjunto vazio é indicado pelo símbolo ∅, que vem de um símbolo semelhante no alfabeto dinamarquês. Alguns livros referem-se ao conjunto vazio por seu nome alternativo de conjunto nulo.

Como existe apenas um conjunto vazio, vale a pena ver o que acontece quando as operações do conjunto de intersecção, união e complemento são usados ​​com o conjunto vazio e um conjunto geral que indicaremos por X. Também é interessante considerar o subconjunto do conjunto vazio e quando o conjunto vazio é um subconjunto. Esses fatos são coletados abaixo:

• o interseção de qualquer conjunto com o conjunto vazio é o conjunto vazio. Isso ocorre porque não há elementos no conjunto vazio e, portanto, os dois conjuntos não têm elementos em comum. Em símbolos, escrevemos X ∩ ∅ = ∅.
• o União de qualquer conjunto com o conjunto vazio é o conjunto com o qual começamos. Isso ocorre porque não há elementos no conjunto vazio e, portanto, não estamos adicionando nenhum elemento ao outro conjunto quando formamos a união. Em símbolos, escrevemos X U ∅ = X.
• o complemento do conjunto vazio é o conjunto universal para a configuração em que estamos trabalhando. Isso ocorre porque o conjunto de todos os elementos que não estão no conjunto vazio é apenas o conjunto de todos os elementos.
• O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto. Isso ocorre porque formamos subconjuntos de um conjunto X selecionando (ou não selecionando) elementos de X. Uma opção para um subconjunto é usar nenhum elemento de X. Isso nos dá o conjunto vazio.